如图所示．AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：E，F关于AD对称．

题型：不详难度：来源：

如图所示．AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
求证：E，F关于AD对称．

答案

证法一：连接EF交AD于G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD．
在Rt△ADE和Rt△ADF中

∠EAD=∠FAD ∠AED=∠AFD AD=AD(公共边)

，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（AAS）．
∴AE=AF（全等三角形对应边相等）．
∴在△AGE和△AGF中，

AE=AF ∠EAG=∠FAG AG=AG(公共边)

．
∴△AGE≌△AGF（SAS）．
∴∠AGE=∠AGF，EG=FG．
又∵∠AGE+∠AGF=180°，
∴∠AGE=∠AGF=90°．
∴AD垂直平分EF．
∴E，F关于AD对称（如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称）．

证法二：连接EF交AD于G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD．
在Rt△ADE和Rt△ADF中

∠EAD=∠FAD ∠AED=∠AFD AD=AD(公共边)

，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（AAS）．
∴AE=AF（全等三角形对应边相等）．
∴AD垂直平分EF（三线合一）．
∴E，F关于AD对称（如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称）．