已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,M是AC的中点,连接BM,CF⊥MB,F是垂足,延长CF交AB于点E.求证:∠AME=∠CMB.

已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,M是AC的中点,连接BM,CF⊥MB,F是垂足,延长CF交AB于点E.求证:∠AME=∠CMB.

题型:不详难度:来源:
已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,M是AC的中点,连接BM,CF⊥MB,F是垂足,延长CF交AB于点E.求证:∠AME=∠CMB.魔方格
答案

魔方格
证明:
证法一:过A作CB的平行线交CE的延长线于点N.
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠NCB=90°
∵CF⊥MB
∴∠2+∠NCB=90°
∴∠1=∠2
∵ANBC且∠ACB=90°
∴∠NAC=90°
在△NAC和△MCB中





∠1=∠2
AC=CB
∠NAC=∠ACB

∴△NAC≌△MCB(A.S.A)
∴∠N=∠CMB
∵AN=MC
∵M是AB中点∴AM=MC=AN
∵∠ACB=90°AC=BC
∴∠3=∠ABC=45°
∵ANBC∴∠4=∠ABC
∴∠3=∠4
在△AME和△ANE中





AM=AN
∠3=∠4
AE=AE

∴△AME≌△ANE(S.A.S)
∴∠AME=∠N,
∵∠N=∠CMB
∴∠AME=∠CMB;

证法二:作∠ACB的平分线交BM于点N.                                                        
魔方格

∵AC=BC∠ACB=90°
∴∠ABC=∠A=45°
∠MCE+∠BCE=90°
∴∠MCE=∠MBC<∠ABC=45°
∴N点在线段BF上.
∵CN是∠ACB的平分线
∴∠ACN=∠BCN=45°
在△AEC和△CNB中





∠A=∠BCN
AC=CB
∠ACE=∠MBC

∴△AEC≌△CNB
∴CN=AE
∵M是AB中点
∴AM=MC
在△AME和△CMN中





∠A=∠MCN
CN=AE
AM=MC

∴△AME≌△CMN,
∴∠AME=∠CMB.
举一反三
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D、E、F分别是三边的中点,且CF=3cm,则DE=______cm.魔方格
题型:漳州难度:| 查看答案
已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm,则斜边的长为(  )
A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm
题型:不详难度:| 查看答案
已知:如图,AB=AC,点D是BC的中点,AB平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为E.
求证:AD=AE.魔方格
题型:顺义区难度:| 查看答案
在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,求证:DE=AD+BE.魔方格
题型:新疆难度:| 查看答案
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB=6cm,AD是BC边的中线,则点D到AC的距离为______cm.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
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