如图，已知△ABC，且S△ABC=1，D、E分别是AB、AC上的动点，BD与CE相交于点P，使SBCDE=169S△BPC，求S△DEP的最大值．

题型：不详难度：来源：

如图，已知△ABC，且S_△ABC=1，D、E分别是AB、AC上的动点，BD与CE相交于点P，使S_BCDE=

16

9

S_△BPC，求S_△DEP的最大值．

答案

设S_△BPC=9k，S_△BPE=ak，S_△DPC=bk，S_△AED=x，
∵S_BCDE=

16

9

S_△BPC，
∴S_BCDE=16k，
∵

S△BPE

S△DPE

=

S△BPC

S△DPC

=

9k

bk

=

9

b

，
∴S_△DEP=

ab

9

k，
∵S_△DEP=S_{四边形EBCD}-S_△BPC-S_△EBP-S_△DPC=16k-9k-ak-bk，
∴

ab

9

=7-a-b，
∵a+b≥2

ab

，
∴

ab

9

≤7-2

ab

，
∴ab+18

ab

-63≤0，
∴（

ab

+21）（

ab

-3）≤0，
∵

ab

≥0，
∴0≤

ab

≤3，
∴当a=b=3时，S_△DEP最大值为k，
又∵

x

4k

=

x+4k

12k

①，x+16k=1②，
由①②得：k=

1

18

，
∴S_△DEP最大值为

1

18

．