在凸四边形ABCD中,M是AB的中点,O是对角线AC与BD的交点,延长MO与CD交于Q点,求证:S△BCOS△ADO=CQDQ.
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在凸四边形ABCD中,M是AB的中点,O是对角线AC与BD的交点,延长MO与CD交于Q点,求证:S△BCOS△ADO=CQDQ.
题型:不详
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在凸四边形ABCD中,M是AB的中点,O是对角线AC与BD的交点,延长MO与CD交于Q点,求证:
S
△BCO
S
△ADO
=
CQ
DQ
.
答案
证明:S
△AOM
=AO×OM×sinAOM÷2=AM×hAB÷2,
S
△BOM
=BO×OM×sinBOM÷2=BM×hAB÷2,
且M为A、B的中点,故AM=BM.
∴S
△AOM
=S
△BOM
,
∴AO×sinAOM=BO×sinBOM,
∴AO:BO=sinBOM:sinAOM…1
∵S
△COQ
=OC×OQ×sinCOQ÷2=CQ×hDC÷2…2
S
△DOQ
=DC×OQ×sinDOQ÷2=DQ×hDC÷2…3
且∠AOM=∠COQ,∠BOM=∠DOQ,
故S
△COQ
=OC×OQ×sinAOM÷2,S
△DOQ
=DC×OQ×sinBOQ÷2,
S
△COQ
:S
△DOQ
=OC×sinAOM:(OD×sinBOM),
将1式代入上式得S
△COQ
:S
△DOQ
=OC×OB:(OD×OA),
将2式÷3式亦可得:S
△COQ
:S
△DOQ
=CQ:DQ,
∴
OB×OC
AO×OD
=
CQ
DQ
,
∵
S△BOC
S△AOD
=
OB×OC×sinBOC
2
÷
AO×OD×sinAOD
2
,
且∠BOC=∠AOD,
∴
S
△BCO
S
△ADO
=
CQ
DQ
.
举一反三
设△ABC的三边为a,b,c,三边上的高分别为h
a
,h
b
,h
c
,若三边满足2b=a+c,则三个高应满足( )
A.2h
b
=h
a
+h
c
B.
2
h
b
=
1
h
a
+
1
h
c
C.
h
b
h
a
=
h
c
h
b
D.以上关系均不对
题型:不详
难度:
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不等边三角形ABC的两条高分别是4和12,若第三边上的高也是整数,那么这条高最长的可能是( )
A.4
B.5
C.6
D.7
题型:不详
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|
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已知不等边三角形中,有一条边长等于另两边长的平均值,则最大边上的高与最小边上的高的比值k的取值范围是( )
A.
3
4
<k<1
B.
1
2
<k<1
C.1<k<2
D.
1
3
<k<1
题型:不详
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不等边△ABC的两条高长度分别为4和12,若第三条高的长也是整数,试求它的长.
题型:不详
难度:
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一直角三角形的斜边长为c,它的内切圆的半径是r,则内切圆的面积与三角形的面积的比是 ______.
题型:不详
难度:
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