在△ABC内部或边界上任取一点P,记P到三边a,b,c的距离依次为x,y,z.求证:ax+by+cz是一个常数.
题型:不详难度:来源:
在△ABC内部或边界上任取一点P,记P到三边a,b,c的距离依次为x,y,z.求证:ax+by+cz是一个常数. |
答案
证明:如图,连接PA,PB,PC,把△ABC分成三个小三角形,则 S△ABC=S△PAB+S△PCB+S△PCA =cz +ax+by 所以ax+by+cz=2S△ABC, 即ax+by+cz为常数. 说明若△ABC为等边三角形,则 x+y+z==h 此即正三角形内一点到三边的距离和为常数,此常数是正三角形的高. |
举一反三
如图所示,已知三角形ABC的面积为1,且BD=DC,AF=FD,CE=EF.求三角形DEF的面积. |
如图.在△ABC中,E是AB的中点,D是AC上的一点,且AD:DC=2:3,BD与CE交于F,S△ABC=40,求SAEFD. |
如图所示.已知P为△ABC内一点,AP,BP,CP分别与对边交于D,E,F,把△ABC分成六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图中给出.求△ABC的面积. |
如图所示.在梯形ABCD中,AB∥CD.若△DCE的面积是△DCB的面积的,问:△DCE的面积是△ABD的面积的几分之几? |
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