如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD交BD于点E，⊙O的半径为4，∠BAD=60°，∠BCA=15°，则AE=______．

题型：不详难度：来源：

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD交BD于点E，⊙O的半径为4，∠BAD=60°，∠BCA=15°，则AE=______．

答案

连接OA、OC、OB，OC交于BD点F，
∵AC平分∠BAD交BD于点E，∠BAD=60°，
∴∠BAC=∠CAD=30°，
由圆周角定理知，弧BC=弧CD，∠BOC=60°，
∴BC=CD，∠CBD=∠BDC=30°，
又∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∠BOC=60°，
∵∠ACB=15°，
∴∠AOB=30°，∠ADF=15°，∠AOC=90°
∵OA=OC=4，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC=

42+42

=4

2

，
∵点C是弧BD的中点，
∴OC⊥BD，
∵∠CBD=30°，∠CBO=60°
∴∠OBF=∠CBF=30°，
∴△BFO≌△BFC，
∴OF=CF，即点F是OC的中点，
∵AO∥BD，
∴△CEF∽△CAO，且相似比为CF：CO=1：2，
∴CE：CA=1：2，
则AE=

1

2

AC=2

2

．