(1)MN=BM+NC.理由如下: 延长AC至E,使得CE=BM(或延长AB至E,使得BE=CN),并连接DE. ∵△BDC为等腰三角形,△ABC为等边三角形, ∴BD=CD,∠DBC=∠DCB,∠MBC=∠ACB=60°, 又BD=DC,且∠BDC=120°, ∴∠DBC=∠DCB=30° ∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°, ∴∠MBD=∠ECD=90°, 在△MBD与△ECD中,BD=CD,∠MBD=∠ECD,CE=BM, ∴△MBD≌△ECD(SAS), ∴MD=DE, ∴△DMN≌△DEN, ∴MN=BM+NC.
(2)利用(1)中的结论得出: △AMN的周长=AM+MN+AN =(AM+BM)+(NC+AN) =2+2=4.
(3)按要求作出图形,(1)中结论不成立,应为MN=NC-BM. 在CA上截取CE=BM. ∵△ABC是正三角形, ∴∠ACB=∠ABC=60°, 又∵BD=CD,∠BDC=120°, ∴∠BCD=∠CBD=30°, ∴∠MBD=∠ECD=90°, 又∵CE=BM, ∴△BMD≌△CED(SAS), ∠BDC=120°(已知条件) ∴∠BDM=∠CDE ∠MDE=∠BDM+∠BDC-∠CDE=∠BDC=120° ∵∠MDN=60°(已知条件) ∴∠EDN=∠MDE-∠MDN=120°-60°=60°=∠MDN, ∴DE=DM, 又∵ND=ND,∠EDN=∠MDN,MD=ED, ∴△MDN≌△EDN(SAS), ∴MN=NE=NC-CE=NC-BM.
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