如图,D是等边△ABC的边AB上一点,E是BC延长线上一点,CE=DA,连接DE交AC于F,过D点作DG⊥AC于G点.证明下列结论:(1)AG=12AD;(2)

如图,D是等边△ABC的边AB上一点,E是BC延长线上一点,CE=DA,连接DE交AC于F,过D点作DG⊥AC于G点.证明下列结论:(1)AG=12AD;(2)

题型:不详难度:来源:
如图,D是等边△ABC的边AB上一点,E是BC延长线上一点,CE=DA,连接DE交AC于F,过D点作DG⊥AC于G点.证明下列结论:
(1)AG=
1
2
AD;
(2)DF=EF;
(3)S△DGF=S△ADG+S△ECF
答案
证明:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,
∵DG⊥AC,
∴∠AGD=90°,∠ADG=30°,
∴AG=
1
2
AD;

(2)过点D作DHBC交AC于点H,
∴∠ADH=∠B,∠AHD=∠ACB,∠FDH=∠E,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠ACB=∠A=60°,
∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°,
∴△ADH是等边三角形,
∴DH=AD,
∵AD=CE,
∴DH=CE,
在△DHF和△ECF中,





∠FDH=∠E
∠DFH=∠EFC
DH=CE

∴△DHF≌△ECF(AAS),
∴DF=EF;

(3)∵△ABC是等边三角形,DG⊥AC,
∴AG=GH,
∴S△ADG=S△HDG
∵△DHF≌△ECF,
∴S△DHF=S△ECF
∴S△DGF=S△DGH+S△DHF=S△ADG+S△ECF
举一反三
如图1,△ABC为等边三角形,面积为S.D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点,且AD1=BE1=CF1=
1
2
AB,连接D1E1、E1F1、F1D1,可得△D1E1F1是等边三角形,此时△AD1F1的面积S1=
1
4
S,△D1E1F1的面积S1=
1
4
S.
(1)当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点,且AD2=BE2=CF2=
1
3
AB时如图2,
①求证:△D2E2F2是等边三角形;
②若用S表示△AD2F2的面积S2,则S2=______;若用S表示△D2E2F2的面积S2′,则S2′=______.
(2)按照上述思路探索下去,并填空:
当Dn、En、Fn分别是等边△ABC三边上的点,ADn=BEn=CFn=
1
n+1
AB时,(n为正整数)△DnEnFn是______三角形;
若用S表示△ADnFn的面积Sn,则Sn=______;若用S表示△DnEnFn的面积Sn′,则S′n=______.
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如图所示,已知AB=AC,∠APC=60°.
(1)求证:△ABC是等边三角形;
(2)若BC=4


3
,求⊙O的面积.
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如图①,M、N点分别在等边三角形的BC、CA边上,且BM=CN,AM、BN交于点Q.
(1)求证:∠BQM=60°;
(2)如图②,如果点M、N分别移动到BC、CA的延长线上,其它条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,给予证明;若不成立,说明理由.
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Rt△AOB中,∠AOB=90°,∠ABO=30°,BO=4,分别以OA,OB边所在的直线建立平面直角坐标系,D点为x轴正半轴上的一点,以OD为一边在第一象限内做等边△ODE.
(1)如图(1),当E点恰好落在线段AB上,求E点坐标;
(2)在(1)问的条件下,将△ODE在线段OB上向右平移如图,图中是否存在一条与线段OO′始终相等的线段?如果存在,请指出这条线段,并加以证明;如果不存在,请说明理由;
(3)若点D从原点出发沿x轴正方向移动,设点D到原点的距离为x,△ODE与△AOB重叠部分的面积为y,请直接写出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
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已知:如图,△ABC是等边三角形,D、E分别是BC、CA上的点,且BD=CE.
(1)求证:AD=BE;(2)求∠AFE的度数.
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