如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发按图中“→”方向运动,每次运动1个单位长度,得到点P1、P2、P3、P4、P5、P6、…,且△OP1P2、△P2P4P

如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发按图中“→”方向运动,每次运动1个单位长度,得到点P1、P2、P3、P4、P5、P6、…,且△OP1P2、△P2P4P

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如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发按图中“→”方向运动,每次运动1个单位长度,得到点P1、P2、P3、P4、P5、P6、…,且△OP1P2、△P2P4P6、△P6P9P12…都是等边三角形,则P1的坐标是______,P420的坐标是______.
答案
∵△OP1P2是等边三角形,
∴∠P1OP2=60°,
1×cos60°=1×
1
2
=
1
2

1×sin60°=1×


3
2
=


3
2

∴点P1的坐标是(
1
2


3
2
);

∵第1个三角形有2个点,
第2个三角形增加4个点,
第3个三角形增加6个点,
…,
依此规律,第n个三角形增加2n个点,
∴2+4+6+…+2n=
(2+2n)•n
2

(2+2n)•n
2
=420,
整理得,n2+n-420=0,
解得n=20,n=-21(舍去),
∴P420是第20个三角形最后的一个点,在x轴上,
∵1+2+3+…+20=
(1+20)•20
2
=210,
∴P420的坐标是(210,0).
故答案为:(
1
2


3
2
);(210,0).
举一反三
如图所示,P是等边三角形ABC内一点,将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°,得到△CBP′,若PB=3,则PP′=______.
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如图,已知△ABC是等边三角形,D,E分别在边BC,AC上,且CD=CE,连接DE并延长至点F,使EF=AE,连接AF,BE和CF
(1)请找出图中全等三角形,用符号“≌”表示;
(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形,并说明理由.
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将边长为3cm的正三角形各边三等分,以这6个分点为顶点构成一个正六边形,则这个正六边形的面积为(  )
A.
3


3
2
cm2
B.
3


3
4
cm2
C.
3


3
8
cm2
D.3


3
cm2
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如图所示,△ABC是等边三角形,BD是中线,DE⊥BC于E.若EC=2,则BE=(  )
A.10B.8C.6D.4

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如图,已知△ABC是等边三角形,E是AC延长线上一点,选择一点D,使得△CDE是等边三角形,如果M是线段AD的中点,N是线段BE的中点,
求证:△CMN是等边三角形.
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