已知等边△ABC和三角形内一点P,设点P到△ABC三边的距离分别为h1、h2、h3,△ABC的高为h.(1)请写出h与h1、h2、h3的关系式,并说明理由;(2

已知等边△ABC和三角形内一点P,设点P到△ABC三边的距离分别为h1、h2、h3,△ABC的高为h.(1)请写出h与h1、h2、h3的关系式,并说明理由;(2

题型:不详难度:来源:
已知等边△ABC和三角形内一点P,设点P到△ABC三边的距离分别为h1、h2、h3,△ABC的高为h.

(1)请写出h与h1、h2、h3的关系式,并说明理由;
(2)若点P在等边△ABC的边上,仍有上述关系吗?
(3)若点P在三角形外,仍有上述关系吗?若有,请你证明,若没有,请你写出它们新的关系式,并给予证明.
答案
(1)连接PA,PB,PC,
则S△ABC=S△PAC+S△PBC+S△PAB
1
2
BC•h=
1
2
AB•h1+
1
2
AC•h2+
1
2
BC•h3
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,
∴h=h1+h2+h3

(2)仍有h=h1+h2+h3
理由:如图:设P在AC上,则h2=0,
连接PB,
则S△ABC=S△PBC+S△PAB
1
2
BC•h=
1
2
AB•h1+
1
2
BC•h3
∵△ABC是等边三角形,
AB=BC=AC,
∴h=h1+h3
即h=h1+h2+h3

(3)h=h1+h2-h3
连接PA,PB,PC,
则S△ABC=S△PAC+S△PBC-S△PAB
1
2
BC•h=
1
2
AB•h1+
1
2
AC•h2-
1
2
BC•h3
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,
∴h=h1+h2-h3
举一反三
如图,AD是等边三角形ABC的中线,AE=AD,则∠EDC=(  )度.
A.30B.20C.25D.15

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等边△OAB在平面直角坐标系中(图1),已知点A(2,0),将△OAB绕点O顺时针方向旋转a°(0<a<360)得△OA1B1
(1)直接写出点B的坐标;
(2)当a=30°时,求△OAB与△OA1B1重合部分(图2中的阴影部分)的面积;
(3)当A1,B1的纵坐标相同时,求a的值;
(4)当60<a<180时,设直线A1B1与BA相交于点P,PA、PB1的长是方程x2-mx+m=0的两个实数根,求此时点P的坐标.
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已知如下图所示,在等边△ABC和等边△ADE中,点B、A、D在一条直线上,BE、CD交于F.
(1)求证:△BAE≌△CAD.
(2)求∠BFC的大小.
(3)在图1的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,此时BE交CD的延长线于点F,其他条件不变,得到图2所示的图形,请直接写出(1)、(2)中结论是否仍然成立.
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等边三角形的两条角平分线所夹的锐角的度数为(  )度.
A.30B.45C.60D.90
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如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,E是AB的中点,连接CE并延长交AD于F.
(1)求证:①△AEF≌△BEC;②四边形BCFD是平行四边形;
(2)如图2,将四边形ACBD折叠,使D与C重合,HK为折痕,求sin∠ACH的值.
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