如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M

题型：北京期末题难度：来源：

如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M。
（1）当直线l经过点C时（如图2），证明：BN=CD；
（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；
（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系。

答案

解：（1 ）证明：连接ND ，
∵AO 平分∠BAC ，
∴∠1= ∠2 ，
∵直线l ⊥AO 于H ，
∴∠4= ∠5=90 °，
∴∠6= ∠7 ，
∴AN=AC ，
∴NH=CH ，
∴AH 是线段NC 的中垂线，
∴DN=DC ，
∴∠8= ∠9 ．
∴∠AND= ∠ACB ，
∵∠AND= ∠B+ ∠3 ，∠ACB=2 ∠B ，
∴∠B= ∠3 ，
∴BN=DN ，
∴BN=DC ；

（2 ）如图，当M 是BC 中点时，
CE 和CD 之间的等量关系为CD=2CE 。
证明：过点C 作CN" ⊥AO 交AB 于N" ，
由（1 ）可得BN"=CD ，AN"=AC ，AN=AE ．
∴∠4= ∠3 ，NN"=CE ，
过点C 作CG ∥AB 交直线l 于G ，
∴∠4= ∠2 ，∠B= ∠1 ，
∴∠2= ∠3 ，
∴CG=CE ，
∵M 是BC 中点，
 ，
∴BM=CM ，
在△BNM 和△CGM 中， 
∴△BNM ≌△CGM ，
∴BN=CG ，
∴BN=CE ，
∴CD=BN"=NN"+BN=2CE ；

（3 ）BN 、CE 、CD 之间的等量关系：
当点M 在线段BC 上时，CD=BN+CE ；
当点M 在BC 的延长线上时，CD=BN-CE ；
当点M 在CB 的延长线上时，CD=CE-BN 。