(1)β=90°+α;(2)β=α;(3)β=90°-α. 下面选择(1)进行证明. 在图(1)中,根据三角形内角和定理可得:∠ABC+∠ACB=180°-∠A. ∵BP与CP是△ABC的角平分线, ∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB, ∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=90°-α. 在△PBC中,∠BPC=180°-(∠PCB+∠PCB)=180°-(90°-α)=90°+α. ∴β=90°+α.图(2),结论:∠BPC=∠A. 证明如下: ∠P=∠1-∠2=(∠ACD-∠ABC)=∠A. ∴β=α; (3)∵BP、CP分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线, ∴∠CBP=(∠A+∠ACB),∠BCP=(∠A+∠ABC), ∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠A-(∠ABC+∠ACB), ∴∠P与∠A的关系是:∠P=180°-∠A-(∠ABC+∠ACB)=90°-α. |