如图,已知△BEC 是等边三角形,∠AEB=∠DEC=90°,AE=DE,AC、BD的交点为O。(1)求证:△AEC≌△DEB;   (2)若∠ABC=∠DCB

如图,已知△BEC 是等边三角形,∠AEB=∠DEC=90°,AE=DE,AC、BD的交点为O。(1)求证:△AEC≌△DEB;   (2)若∠ABC=∠DCB

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如图,已知△BEC 是等边三角形,∠AEB=∠DEC=90°,AE=DE,AC、BD的交点为O。
(1)求证:△AEC≌△DEB;  
(2)若∠ABC=∠DCB=90°,AB=2cm ,求图中阴影部分的面积。


答案

解:(1)∵∠AEB=∠DEC=90°,
∴∠AEB+ ∠BEC=∠DEC+∠BEC,
即∠AEC=∠DEB,
∵△BEC是等边三角形,
∴CE=BE,
又AE=DE,
∴△AEC≌△DEB;
(2)连结EO并延长EO交BC于点F,连结AD,
由(1),知AC=BD,
∵∠ABC=∠DCB=90°,
∴∠ABC+∠DCB=180°,AB∥DC,
AB==CD,
∴四边形ABCD为平行四边形且矩形,
∴OA=OB=OC=OD,
又∵BE=CE,
∴OE所在直线垂直平分线段BC,
∴BF=FC,∠EFB=90°,
∴OF=AB=×2=1,
∵△BEC是等边三角形,
∴∠EBC=60°,
在Rt△AEB中,
∠AEB=90°,∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°,
∴BE=AB·cos30°=2×
在Rt△BFE中,∠BFE=90°,∠EBF=60°,
∴BF=BE·cos60°=
EF=BE·sin60°=
∴OE=EF-OF=
∵AE=ED,OE=OE,AO=DO,
∴△AOE≌△DOE,
∴S △AOE=S△DOE
∴S=2S△AOE =2×·EO·BF=2×(cm2)。

举一反三
如图, 等边△ABC,点D、E分别在BC、AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F。
(1)试说明△ABD≌△BCE;
(2)△AEF与△ABE相似吗?说说你的理由;
(3)BD2=AD?DF吗?请说明理由。
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已知:如图,O□ABCD的对角线AC的中点,过点O作一条直线分别与ABCD交于点MN,点EF在直线MN上,且OEOF
(1)图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来;
(2)求证:∠MAE=∠NCF
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已知:如图,在等边△ABC中,DF分别为CBBA上的点,且CDBF,以AD为边作等边三角形ADE
求证:(1)△ACD≌△CBF
(2)四边形CDEF为平行四边形.
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用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如下,则说明∠CAD=∠DAB的依据是
[     ]
A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
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如图所示,四边形ABCD是边长为 2的正方形,点G是BC延长线上的一点,连接AG,点 E、F分别在AG上,连接BE、DF,∠1=∠2,∠3=∠4.     
(1)证明:△ABE ≌△DAF;
(2)若∠AGB=30°,求EF的长.
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