解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC,∠BAC=∠BCA=60°, ∵四边形ACDE是等腰梯形,∠EAC=60°, ∴AE=CD,∠ACD=∠CAE=60°, ∴∠BAC+∠CAE=120°=∠BCA+∠ACD, 即∠BAE=∠BCD, 在△ABE和△BCD中,AB=BC,∠BAE=∠BCD,AE=CD, ∴△ABE≌△CBD(SAS); | |
(2)存在, 答案不唯一,如△ABN∽△CDN, 证明如下: ∵∠BAN=60°=∠DCN,∠ANB=∠DNC, ∴△ANB∽△CND, 其相似比为:; | |
(3)由(2)得, ∴CN=AN=AC 同理AM=AC, ∴AM=MN=NC。 | |
(4)作DF⊥BC交BC的延长线于F, ∵∠BCD=120°, ∴∠DCF=60°, 在Rt△CDF中, ∴∠CDF=30°, ∴CF=CD=, ∴, 在Rt△BDF中, ∵BF=BC+CF=,DF=, ∴。 | |