如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连结AC、PD。求证：（1）△APB≌△DPC；（2）∠BAP =2∠PAC。

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如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连结AC、PD。
求证：（1）△APB≌△DPC；
（2）∠BAP =2∠PAC。

答案

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形 ，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABC-∠PBC =∠DCB-∠PCB，
即∠ABP=∠DCP，
又∵AB= DC，PB=PC，
∴△APB≌△DPC；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°，
∵△APB≌△DPC，
∴AP= DP，
又∵AP=AB=AD ，
∴DP = AP =AD，
∴△APD是等边三角形，
∴∠DAP=60°，
∴∠PAC=∠DAP -∠DAC=15°，
∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°，
∴∠BAP=2∠PAC。