如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC= 90°，AC= 2AB，点 D是AC 的中点，将一块锐角为 45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与 A

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如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC= 90°，AC= 2AB，点 D是AC 的中点，将一块锐角为 45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与 A、D重合，连接BE、EC.
试猜想线段 BE 和 EC 的数量及位置关系. 并证明你的猜想.

答案

解：BE= EC，BE⊥EC,
∵AC=2AB,点D是AC的中点
∴AB=AD=CD
∵∠EAD= ∠EDA=45 °
∴∠EAB= ∠EDC=135 °
∵EA=ED
∴△EAB ≌△EDC
∴∠AEB= ∠DEC,EB=EC
∴∠BEC= ∠AED=90 °
∴BE=EC,BE ⊥EC

举一反三

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是

[     ]
A.8
B.9
C.10
D.12

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如图，梯形ABCD 中，AD//BC，∠DCB= 45°，CD =2，BD⊥CD，过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF.
(1)求EG的长；
(2)求证：CF =AB +AF.

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已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC= 90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF =AD，MF =MA．
（1）若∠MFC =120°，求证：AM=2MB；
（2）求证：

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如图，正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线 l₁、l₂、l₃、l₄上，这四条直线中：相邻两条之间的距离依次为 h₁、h₂、h₃(h₁>0，h₂>0 , h₃ >0) .
(1)求证：h₁ = h₃；
(2)设正方形ABCD的面积为 S，求证：S=(h_l+h₂)² +h₁²；
(3)若h_l+ h₂ = 1，当 h₁变化时. 说明正方形ABCD 的面积S 随h₁ 的变化情况.

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数学课堂上，徐老师出示了一道试题：如图所示，在正三角形ABC中M是BC边（不含端点B，C）上任意一点.P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN。
（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。证明：在AB上截取EA=MC，连接EM，得△AEM
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2
又∵CN平分∠ACP，
∴∠4=∠ACP=60°
∴∠MCN=∠3+∠4=120° ①
又∵BA=BC，EA=MC，
∴BA-EA=BC-MC
即：BE=BM
∴△BEM为等边三角形
∴∠6=60°
∴∠5=180°-6=120°。②
由①②得∠MCN=∠5
在△AEM和△MCN中
∴（），（），（），
∴△AEM≌△MCN（ASA）
∴AM=MN。
（2）若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A₁B₁C₁D₁”（如图），N₁是∠D₁C₁P₁的平分线上一点，则当∠A₁M₁N₁=90°时，结论A₁M₁=M₁N₁是否还成立？
（3）若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形A_nB_nC_nD_n…X_n”，请你猜想：当∠A_nM_nN_n=（）时，结论A_nM_n=M_nN_n仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）

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