如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF。(1)求证:AD⊥CF;(

如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF。(1)求证:AD⊥CF;(

题型:河南省模拟题难度:来源:
如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF。
(1)求证:AD⊥CF;
(2)连接AF,试判断△ACF的形状,并说明理由。
答案
解:(1)证明:∵AC∥BF,∠ACB=90°,
∴∠DBF=90°,
∵∠DBE=45°,
∴∠FBE=45°,
∴∠DBE=∠FBE=45°,
又∵∠DBE=∠FEB=90°,BE=BE,
∴△BDE≌△BFE,
∴BF=BD,
又∴D为BC的中点,
∴CD=BD,
∴CD=BF,
在△ACD和△CBF中,

∴△ACD≌△CBF,
∴∠CAD=∠BCF,
∵∠ACD=90°,
∴∠ACG+∠BCF=90°,
∴∠CAG+∠ACG=90°,
∴∠AGC=90°,
∴AD⊥CF;
(2)△ACF是等腰三角形;理由如下:在△ADB和△AFB中,

∴△ADB≌△AFB,
∴AF=AD,
∵△BDE≌△BFE,
∴AD=CF,
∴CF=AF,
∴△ACF是等腰三角形。
举一反三
如图,将矩形ABCD的一个角翻折,使得点D恰好落在BC边上的点G处,折痕为EF,若EB为∠AEG的平分线,EF和BC的延长线交于点H,下列结论中:①∠BEF=90°;②DE=CH;③BE=EF;④△BEG和△HEG的面积相等;⑤若,则,以上命题,正确的有
[     ]
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
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如图,PA=PB,∠A=∠B,∠1=∠2,求证:AD=BC。
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如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BF⊥CD于F,延长BF交AD的延长线于E,延长CD交BA的延长线于G,且DG=DE,AB=,CF=6。
(1)求线段CD的长;
(2)H在边BF上,且∠HDF=∠E,连接CH,求证:∠BCH=45°-∠EBC。
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菱形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,求证:AE=AF。
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已知△ABC,以AC为边在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD。
(1)如图1,若∠DAC=2∠ABC,AC=BC,四边形ABCD是平行四边形,则∠ABC=_______;
(2)如图2,若∠ABC=30°,△ACD是等边三角形,AB=3,BC=4,求BD的长;
(3)如图3,若∠ACD为锐角,作AH⊥BC于H,当BD2=4AH2+BC2时,∠DAC=2∠ABC是否成立?若不成立,请说明你的理由;若成立,证明你的结论。
图1                           图2                                     图3
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