已知∠AOB=90°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合,它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E。当三

已知∠AOB=90°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合,它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E。当三

题型:专项题难度:来源:
已知∠AOB=90°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合,它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E。当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1),易证:OD+OE=OC。当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时,在图2、图3这两种情况下,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明。
答案
解:在图2中过点C分别作CK⊥OA,CH⊥OB
∵OM为∠AOB的角平分线,且CK⊥OA,CH⊥OB
∴CK=CH,∠CKD=∠CHE=90°
又∵∠1与∠2都为旋转角
∴∠1=∠2
∴△CKD≌△CHE
∴DK=EH
∴OD+OE=OD+OH+EH=OD+OH+DK=OH+OK
由结论知:OH+OK=OC。
在图3中结论不成立,结论:OE-OD=OC。
举一反三
如图,有一池塘,要测池塘两端A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连结AC并延长到D,使CD=CA。连结BC并延长到E,使CE=CB,连结DE,那么量出DE的长,就是A、B的距离,为什么?线段DE可以看作由哪条线段旋转得到。
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AD是∠BAC的角平分线,自D向AB、AC两边作垂线,垂足为E、F,那么下列结论中错误的是[     ]
A.DE=DF
B.AE=AF
C.BD=CD
D.∠ADE=∠ADF
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如图所示,已知AD为等腰三角形ABC的底角的平分线,∠C=90°,求证:AB=AC+CD。
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如图MN是⊙O的直径,弦AB、CD相交于MN上的一点P,∠APM=∠CPM。
(1)由以上条件,你认为AB和CD大小关系是什么,请说明理由;
(2)若交点P在⊙O的外部,上述结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由。
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如图所示,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB,交BC于点D,DE⊥AB于点E,且AB=6cm,则△DEB的周长为
[     ]
A.9cm
B.5cm
C.6cm
D.不能确定
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