(1)如图1所示,在平行四边形ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,且BE=DF,连接AE、CF.请你猜想:AE与CF有怎样的数量关系?并对你的猜想加以证明.

(1)如图1所示,在平行四边形ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,且BE=DF,连接AE、CF.请你猜想:AE与CF有怎样的数量关系?并对你的猜想加以证明.

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(1)如图1所示,在平行四边形ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,且BE=DF,连接AE、CF.请你猜想:AE与CF有怎样的数量关系?并对你的猜想加以证明.
(2)如图2所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形.若AB=2,求△ABC的周长.(结果保留根号)
答案
AE=CF.
理由如下:在平行四边形ABCD中,ABCD,AB=CD,
∴∠ABE=∠CDF,
在△ABE和△CDF中,





AB=CD
∠ABE=∠CDF
BE=DF

∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴AE=CF;

(2)∵△ABD是等边三角形,
∴∠B=60°,
∵∠BAC=90°,
∴∠C=90°-∠B=90°-60°=30°,
∴BC=2AB=2×2=4,
根据勾股定理,AC=


BC2-AB2
=


42-22
=2


3
cm,
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2+4+2


3
=(6+2


3
)cm.
举一反三
在四边形ABCD中,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N:

(1)如图1,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论;
(2)若在AB上取一点E,连结DE,CE,恰好△ADE和△BCE都是等边三角形(如图2):
①判断此时四边形PQMN的形状为______(直接写出你的结论)
②当AE=6,EB=3,求此时四边形PQMN的周长(结果保留根号)
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如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,BE=2cm,DF=3cm,∠EAF=60°,试求CF的长.
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如图,▱ABCD中,AB=3,BC=5,BE平分∠ABC,则ED的长为______.
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如图所示,四边形ABED与四边形AFCD都是平行四边形,AF和DE相交成直角,AG=3cm,DG=4cm,▱ABED的面积是36cm2,则四边形ABCD的周长为(  )
A.49cmB.43cmC.41cmD.46cm

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将两块同样大小的等腰直角三角形拼成如图所示的平行四边形ABCD,如果AB=8cm,那么对角线BD=______.
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