如图,在梯形中,,．点,,分别在边,,上,．（1）求证：四边形是平行四边形;（2）当时,求证：四边形是矩形．

题型：不详难度：来源：

如图,在梯形中,,．点,,分别在边,,上,．

（1）求证：四边形是平行四边形;
（2）当时,求证：四边形是矩形．

答案

证明见解析．

解析

试题分析：（1）要证明该四边形是平行四边形,只需证明AE∥FG．根据对边对等角∠GFC=∠C,和等腰梯形的性质得到∠B=∠C．则∠B=∠GFC,得到AE∥FG．
（2）在平行四边形的基础上要证明是矩形,只需证明有一个角是直角．根据三角形FGC的内角和是180°,结合∠FGC=2∠EFB和∠GFC=∠C,得到∠BFE+∠GFC=90°．则∠EFG=90°．
试题解析：（1）∵在梯形ABCD中,AB=DC,
∴∠B=∠C．
∵GF=GC,
∴∠C=∠GFC,
∴AB∥GF,即AE∥GF．
∵AE=GF,
∴四边形AEFG是平行四边形;
（2）∵∠FGC+∠GFC+∠C=180°,∠GFC=∠C,∠FGC=2∠EFB,
∴2∠GFC+2∠EFB=180°,
∴∠BFE+∠GFC=90°．
∴∠EFG=90°．
∵四边形AEFG是平行四边形,
∴四边形AEFG是矩形．