已知:如图,在ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,CE=CD,点F为CE的中点,点G为CD上的一点,连接DF、EG、AG,∠1=∠2。(l)若CF=2,AE=3,

已知:如图,在ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,CE=CD,点F为CE的中点,点G为CD上的一点,连接DF、EG、AG,∠1=∠2。(l)若CF=2,AE=3,

题型:不详难度:来源:
已知:如图,在ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,CE=CD,点F为CE的中点,点G为CD上的一点,连接DF、EG、AG,∠1=∠2。

(l)若CF=2,AE=3,求BE的长;
(2)求证:
答案
解:(1)∵CF=2,点F为CE的中点,∴CE=4。
∵CE=CD,∴CD=4。
∵四边ABCD是平行四边形,∴AB=CD=4。
∵ AE⊥BC,AE=3,∴
(2)如图,过点GH∥BC交AE于点H,则∠CEG=∠EGH。

∵∠1=∠2,∠C=∠C,CE=CD,
∴△CEG≌△CDF(AAS)。∴CG=CF。
∵点F为CE的中点,∴点G为CD的中点。
∴点H为AE的中点,即GH是AE的垂直平分线。
∴GA=GE。∴∠EGH=∠AGH。

解析
(1)根据平行四边形对边相等的性质,由已知,经过等量代换得到直角三角形ABE的AB长,从而由已知的AE长,应用勾股定理可求得BE的长。
(2)过点GH∥BC交AE于点H,则∠CEG=∠EGH,通过△CEG≌△CDF得到点G为CD的中点,从而确定GH是AE的垂直平分线,根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质,得到GA=GE,进而根据等腰三角形三线合一的性质,得∠EGH=∠AGH,从而得证。
举一反三
已知:在矩形ABCD中,E为边BC上的一点,AE⊥DE,AB=12,BE=16,F为线段BE上一点,EF=7,连接AF。如图1,现有一张硬纸片△GMN,∠NGM=900,NG=6,MG=8,斜边MN与边BC在同一直线上,点N与点E重合,点G在线段DE上。如图2,△GMN从图1的位置出发,以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动,同时,点P从A点出发,以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动,点Q为直线GN与线段AE的交点,连接PQ。当点N到达终点B时,△GMNP和点同时停止运动。设运动时间为t秒,解答问题:

(1)在整个运动过程中,当点G在线段AE上时,求t的值;
(2)在整个运动过程中,是否存在点P,使△APQ是等腰三角形,若存在,求出t的值;若不存在,说明理由;
(3)在整个运动过程中,设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S,请直接写出S与t的函数关系式以及自变量t的取值范围。
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在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC和BD交于点O,下列条件中,能判断梯形ABCD是等腰梯形的是【   】
A.∠BDC =∠BCDB.∠ABC =∠DABC.∠ADB =∠DACD.∠AOB =∠BOC

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如图.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,分别于BC、CD交于E、F,EH⊥AB于H.连接FH,求证:四边形CFHE是菱形.

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如图,▱ABCD中,点O是AC与BD的交点,过点O的直线与BA、DC的延
长线分别交于点E、F.

(1)求证:△AOE≌△COF;
(2)请连接EC、AF,则EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是矩形,并说明理由.
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在折纸这种传统手工艺术中,蕴含许多数学思想,我们可以通过折纸得到一些特殊图形.把一张正方形纸片按照图①~④的过程折叠后展开.

①              ②                 ③                ④
(1)猜想四边形ABCD是什么四边形;
(2)请证明你所得到的数学猜想.
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