已知:如图,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.(1)求证:AE=EC;(2)当∠ABC=60°,∠CEF=60°时,点
题型:不详难度:来源:
已知:如图,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.
(1)求证:AE=EC; (2)当∠ABC=60°,∠CEF=60°时,点F在线段BC上的什么位置?说明理由. |
答案
解:(1)证明:连接AC,
∵BD,AC是菱形ABCD的对角线,∴BD垂直平分AC。 ∴AE=EC。 (2)点F是线段BC的中点。理由如下: 在菱形ABCD中,AB=BC, 又∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形。 ∴∠BAC=60°。 ∵AE=EC,∠CEF=60°,∴∠EAC=∠BAC=30°。 ∴AF是△ABC的角平分线。 ∵AF交BC于F,∴AF是△ABC的BC边上的中线。 ∴点F是线段BC的中点。 |
解析
试题分析:(1)连接AC,根据菱形的对角线互相垂直平分可得BD垂直平分AC,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得证。 (2)先判定出△ABC是等边三角形,根据等边三角形的每一个角都是60°可得∠BAC=60°,再根据等边对等角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EAC=30°,从而判断出AF是△ABC的角平分线,再根据等边三角形的性质可得AF是△ABC的BC边上的中线,从而解得。 |
举一反三
如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点D在BC上,以AC为对角线的所有ADCE中,DE最小的值是
|
通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例,请补充完整。
原题:如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,试说明理由。 (1)思路梳理 ∵AB=CD, ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合。 ∵∠ADC=∠B=90°, ∴∠FDG=180°,点F、D、G共线。 根据 ,易证△AFG≌ ,得EF=BE+DF。 (2)类比引申 如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系 时,仍有EF=BE+DF。 (3)联想拓展 如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC应满足的等量关系,并写出推理过程。 |
如图,已知BE∥DF,∠ADF=∠CBE,AF=CE,求证:四边形DEBF是平行四边形.
|
如图,P为正方形ABCD的边AD上的一个动点,AE⊥BP,CF⊥BP,垂足分别为点E、F,已知AD=4.
(1)试说明AE2+CF2的值是一个常数; (2)过点P作PM∥FC交CD于点M,点P在何位置时线段DM最长,并求出此时DM的值. |
如图,在菱形ABCD中,AB=3,∠ABC=60°,则对角线AC=【 】
|
最新试题
热门考点