如图所示,将长方形ABCD沿直线BD折叠,使C点落在C′处,BC′交AD于E.(1)求证:BE=DE;(2)若AD=8,AB=4,求△BED的面积.

如图所示,将长方形ABCD沿直线BD折叠,使C点落在C′处,BC′交AD于E.(1)求证:BE=DE;(2)若AD=8,AB=4,求△BED的面积.

题型:不详难度:来源:
如图所示,将长方形ABCD沿直线BD折叠,使C点落在C′处,BC′交AD于E.
(1)求证:BE=DE;
(2)若AD=8,AB=4,求△BED的面积.

答案
(1)见解析   (2)10
解析

试题分析:(1)先根据折叠的性质得出∠1=∠2,再由矩形的对边平行,内错角相等,所以∠1=∠3,然后根据角之间的等量代换可知DE=BE;
(2)设DE=x,则AE=8﹣x,BE=x,在△ABE中,运用勾股定理得到BE2=AB2+AE2,列出关于x的方程,解方程求出x的值,再根据三角形的面积公式,即可求得△BED的面积.
(1)证明:∵△BDC′是由△BDC沿直线BD折叠得到的,
∴∠1=∠2,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴BE=DE;(2)解:设DE=x,则AE=AD﹣DE=8﹣x,
在△ABE中,∵∠A=90°,BE=DE=x,
∴BE2=AB2+AE2
∴x2=42+(8﹣x)2
∴x=5,
∴△BED的面积=DE×AB=×5×4=10.

点评:此题通过折叠变换考查了三角形的有关知识,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后对应边、对应角相等.
举一反三
如图,顺次连结四边形ABCD四边的中点E、F、G、H,则四边形EFGH的形状一定是    

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如图,菱形ABCD的周长为,对角线AC和BD相交于点O,AC:BD=1:2,则AO:BO=    ,菱形ABCD的面积S=    

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如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.

(1)求证:四边形AMDN是平行四边形.
(2)当AM的值为何值时,四边形AMDN是矩形?请说明理由.
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已知△ABC为等边三角形,点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列),使∠DAF=60°,连接CF.
(1)如图1,当点D在边BC上时,求证:①BD=CF;②AC=CF+CD;
(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立?若不成立,请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系.

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如图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O作EF⊥AC交BC于点E,交AD于点F,连接AE、CF.则四边形AECF是
A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形

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