分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE.已知∠ACB=90°、∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF、CF.(1)试
题型:不详难度:来源:
分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE.已知∠ACB=90°、∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF、CF.
(1)试说明AC=EF; (2)求证:四边形ADFE是平行四边形; (3)找出图中除△ACD、△ABE以外的等边三角形,并说明理由. |
答案
(1)首先Rt△ABC中,由∠BAC=30°可以得到AB=2BC,又因为△ABE是等边三角形,EF⊥AB,由此得到AE=2AF,并且AB=2AF,然后即可证明△AFE≌△BCA,再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF;(2)根据(1)知道EF=AC,而△ACD是等边三角形,所以EF=AC=AD,并且AD⊥AB,而EF⊥AB,由此得到EF∥AD,再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形;(3)△CBF为等边三角形 |
解析
试题分析:(1)首先Rt△ABC中,由∠BAC=30°可以得到AB=2BC,又因为△ABE是等边三角形,EF⊥AB,由此得到AE=2AF,并且AB=2AF,然后即可证明△AFE≌△BCA,再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF; (2)根据(1)知道EF=AC,而△ACD是等边三角形,所以EF=AC=AD,并且AD⊥AB,而EF⊥AB,由此得到EF∥AD,再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形; (3)先证得BC=BF,∠CBF=60°,即可证得△CBF为等边三角形. (1)∵Rt△ABC中,∠BAC=30°, ∴AB=2BC, 又∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB, ∴AB=2AF ∴AF=CB, ∴△AFE≌△BCA(HL), ∴AC=EF; (2)由(1)知道AC=EF, 而△ACD是等边三角形, ∴∠DAC=60° ∴EF=AC=AD,且AD⊥AB, 而EF⊥AB, ∴EF∥AD, ∴四边形ADFE是平行四边形; (3)由(1)(2)得BC=BF,∠CBF=60° ∴△CBF为等边三角形. 点评:全等三角形的判定和性质是初中数学的重点,贯穿于整个初中数学的学习,是中考中比较常见的知识点,一般难度不大,需熟练掌握. |
举一反三
在□ABCD中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶2,则∠D的度数为( ) |
如图,在□ABCD中,AE⊥BC于E,AE=EB=EC=,且是一元二次方程的根,则□ABCD的周长为( )
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已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示),点B1在轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在轴上.若正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60º,B1C1∥B2C2∥B3C3,则点A3到轴的距离是( )
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我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图1)。图2由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成。记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,若S1+S2+S3=21,则S2的值是 . |
如图在平行四边形ABCD的对角线AC的延长线上取两点E、F,使EA=CF,求证:四边形EBFD是平行四边形. |
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