已知:四边形中,对角线的交点为,是上的一点,过点作于点,、交于点.(1)如图1,若四边形是正方形,求证:;(2)如图2,若四边形是菱形,.探究线段与的数量关系,
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已知:四边形中,对角线的交点为,是上的一点,过点作于点,、交于点.(1)如图1,若四边形是正方形,求证:;(2)如图2,若四边形是菱形,.探究线段与的数量关系,
题型:不详
难度:
来源:
已知:四边形
中,对角线的交点为
,
是
上的一点,过点
作
于点
,
、
交于点
.
(1)如图1,若四边形
是正方形,求证:
;
(2)如图2,若四边形
是菱形,
.探究线段
与
的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,若四边形
是等腰梯形,
,且
.结合上面的活动经验,探究线段
与
的数量关系为
.(直接写出答案).
答案
(1)通过证明△
AOF
≌△
BOE
,得
OE
=
OF
(2)证明
OF
:
OE
=
AO
:
OB
,
AO
:
OB
=tan60°=得
OF
=
OE
(3)
OF
=tan(
α
-45°)
OE
或
OF
=tan(135°-
α
)
OE
解析
试题分析:1)证明:∵四边形
ABCD
是正方形,对角线的交点为
O
,
∴
AC
=
BD
,
OA
=
OC
,
OB
=
OD
,∴
OA
=
OB
.
∵
AC
⊥
BD
,
AG
⊥
BE
,∴∠
FAO
+∠
AFO
=90°,∠
EAG
+∠
AEG
=90°,
∴∠
AFO
=∠
BEO
.
又∵∠
AOF
=∠
BOE
=90°∴△
AOF
≌△
BOE
.∴
OE
=
OF
.
(2)
OF
=
O
E
∵四边形
ABCD
是菱形,对角线的交点为
O
,∠
ABC
=120°
∴
AC
⊥
BD
,∠
ABO
=60° ∴∠
FAO
+∠
AFO
=90°.
∵
AG
⊥
BE
,∴∠
EAG
+∠
BEA
=90°.∴∠
AFO
=∠
BEO
又∵∠
AOF
=∠
BOE
=90°
∴△
AOF
∽△
BOE
.
∴
OF
:
OE
=
AO
:
OB
.∵∠
ABO
=60°,
AC
⊥
BD
,∴
AO
:
OB
=tan60°=.
∴
OF
=
OE
(3)
OF
=tan(
α
-45°)
OE
或
OF
=tan(135°-
α
)
OE
点评:本题考查全等三角形和正方形、菱形、等腰梯形,解决本题的方法是熟悉全等三角形的判定方法和正方形、菱形、等腰梯形的性质
举一反三
如图,把一个长方形纸片沿
折叠后,点
D
,
C
分别落在
D
′,
C
′的位置.若
=70°,则
= _________。
题型:不详
难度:
|
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如图①、②、③是两个半径都等于2的⊙
O
1
和⊙
O
2
,由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置,⊙
O
1
和⊙
O
2
相交于
A
、
B
两点,分别连结
O
1
A
、
O
1
B
、
O
2
A
、
O
2
B
和
AB
。
(1)如图②,当∠
AO
1
B
=120°时,求两圆重叠部分图形的周长
l
;
(2)设∠
AO
1
B
的度数为
x
,两圆重叠部分图形的周长为
y
,求
y
关于
x
的函数关系式,并写出自变量
x
的取值范围;
(3)在(2)中,当重叠部分图形的周长
时,则线段
O
2
A
所在的直线与⊙
O
1
有何位置关系?请说明理由.除此之外,它们是否还有其它的位置关系?如果有,请直接写出其它位置关系时的
x
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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如图所示,在
ABCD中,对角线AC、BD交于点O,下列式子中一定成立的是( )
A.AC⊥BD B.OA=OC C.AC=BD D.AO=OD
题型:不详
难度:
|
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如图,
ABCD的周长为16 cm,AC、BD相交于点O,OE⊥AC交AD于E,则△DCE的周长为( )
A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
题型:不详
难度:
|
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如图,已知在平行四边形ABCD中,AB=4cm,AD=7cm,∠ABC的平分线交AD于点E,交CD的延长线于点F,则DF=__________
题型:不详
难度:
|
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