在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点P是在线段BC上任意一点(与点B不重合),∠BPE=∠BCA,PE交BO于点E,过点B作BF⊥PE,垂足为F,交

在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点P是在线段BC上任意一点(与点B不重合),∠BPE=∠BCA,PE交BO于点E,过点B作BF⊥PE,垂足为F,交

题型:不详难度:来源:
在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点P是在线段BC上任意一点(与点B不重合),∠BPE=∠BCA,PE交BO于点E,过点B作BF⊥PE,垂足为F,交AC于点G.
      
⑴ 若ABCD为正方形,
① 如图⑴,当点P与点C重合时.△BOG是否可由△POE通过某种图形变换得到?证明你的结论;
② 结合图⑵求的值;
⑵ 如图⑶,若ABCD为菱形,记∠BCA=,请探究并直接写出的值.(用含的式子表示)
答案
(1)①△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到
  (2)tanα
解析

试题分析:⑴ 解:△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到.
 
证明:如图,∵四边形ABCD是正方形,P与C重合,
∴OB=OP,∠BOC=∠BOG=90°.
∵PF⊥BG,∠PFB=90°,
∴∠GBO=90°-∠BGO,
∠EPO=90°-∠BGO,
∴∠GBO=∠EPO,∴△BOG≌△POE.
∴OE=OG,
又∵∠EOG=90°,
∴将线段OE绕点O顺时针旋转90°就得到OG.
又∵OB=OP,∠POB=90°,
∴将线段OP绕点O顺时针旋转90°就得到OB.
∴△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到.
⑵ 解法一:如图,作PM//AC交BG于M,交BO于N,

∴∠PNE=∠BOC=90°,∠BPN=∠OCB,
∵∠OBC=∠OCB=45°,∴∠NBP=∠NPB,
∴NB=NP.
∵∠MBN=90°-∠BMN, ∠NPE=90°-∠BMN,
∴∠MBN=∠NPE,
∴△BMN≌△PEN,
∴BM=PE.
∵∠BPE=∠ACB,∠BPN=∠ACB,
∴∠BPF=∠MPF.
∵PF⊥BM,∴∠BFP=∠MFP=90°.
又∵PF=PF, ∴△BPF≌△MPF,
∴BF="MF" ,即BF=BM,
∴BF=PE, 即
解法二:如图,作CM//PF交BG于M,交BO于N,


且∠BPE=∠BCM,
∵∠BPE=∠ACB,
∴∠BCM=∠GCM,
∵CM//PF,PF⊥BG,∴CM⊥BG,
∴∠CMB=∠CMG=90°.
又∵CM=CM,∴△BCM≌△GCM,
∴BM=MG,即BM=BG,
又由⑴得,BG=CN.


如图,过点P作PM∥AC,交BG于M,交BO于N
∴∠BAC=∠BPM=α,又∠BPE=∠BCA,
∴∠MPF=∠BPF,又∵PF⊥BG,PF=PF
∴△BPF≌△MPF
∴MF=BF
∵四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD
∵MP∥AC, ∴MP⊥BD
∴∠MNB=∠ENP
∵∠NEP=∠FEB
又∠FBE+∠FEB=90°=∠NPE+∠NEP
∴∠FBE=∠NPE
∴△BMN∽≌△PEN

∵BM=2BF,在RT△BNP中,又∠BAC=∠BPM=α
=tanα
tanα
点评:几何综合题,中考压轴题种类, 难度系数较大,考查学生对几何综合知识的掌握程度和分析、解决问题的能力。
举一反三
下列判断:①平行四边形的对边平行且相等;②四条边都相等且四个角也都相等的四边形是正方形;③对角线互相垂直的四边形是菱形;④对角线相等的平行四边形是矩形;⑤对角线相等的梯形是等腰梯形。其中正确的个数有                                (      )
A.1个B.2个C.3个D.4

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如图:已知梯形ABCD的面积为24cm2,高DE=4cm,则该梯形的中位线长是        cm
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如图,点M、N、P、Q分别是等腰梯形ABCD各边的中点。AC与BD交于点O,BD⊥AC;

(1)请判断四边形MNPQ的形状,说明理由;
(2)底边BC的长为6厘米,点E是BC上的动点,试求出点E到两条对角线的所在直线的距离之和。
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如图,E为□ABCD中DC边延长线上的一点,且CE=CD,连接AE,分别交BC、BD于点F、G.

(1)求证:△AFB≌△EFC;
(2)若BDD=12厘米,求DG的长.
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如图,P是菱形ABCD对角线BD上一点,PE⊥AB于点E,PE=4 cm,则点P到BC的距离是cm.
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