在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P是在线段BC上任意一点（与点B不重合），∠BPE＝∠BCA，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交

题型：不详难度：来源：

在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P是在线段BC上任意一点（与点B不重合），∠BPE＝

∠BCA，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．

⑴ 若ABCD为正方形，
① 如图⑴，当点P与点C重合时．△BOG是否可由△POE通过某种图形变换得到？证明你的结论；
② 结合图⑵求

的值；
⑵ 如图⑶，若ABCD为菱形，记∠BCA＝

，请探究并直接写出

的值．（用含

的式子表示）

答案

（1）①△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到
②

＝

（2）

＝

tanα

解析

试题分析：⑴ 解：△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到．

证明：如图，∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，
∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°．
∵PF⊥BG，∠PFB=90°，
∴∠GBO=90°－∠BGO，
∠EPO=90°－∠BGO，
∴∠GBO=∠EPO，∴△BOG≌△POE．
∴OE=OG，
又∵∠EOG=90°，
∴将线段OE绕点O顺时针旋转90°就得到OG．
又∵OB=OP，∠POB=90°，
∴将线段OP绕点O顺时针旋转90°就得到OB．
∴△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到．
⑵ 解法一：如图，作PM//AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB，
∵∠OBC=∠OCB=45°，∴∠NBP=∠NPB，
∴NB=NP．
∵∠MBN=90°－∠BMN， ∠NPE=90°－∠BMN，
∴∠MBN=∠NPE，
∴△BMN≌△PEN，
∴BM=PE．
∵∠BPE=

∠ACB，∠BPN=∠ACB，
∴∠BPF=∠MPF．
∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90°．
又∵PF=PF， ∴△BPF≌△MPF，
∴BF="MF" ，即BF=

BM，
∴BF=

PE，即

＝

．
解法二：如图，作CM//PF交BG于M，交BO于N，

∴

，
且∠BPE=∠BCM，
∵∠BPE=

∠ACB，
∴∠BCM=∠GCM，
∵CM//PF，PF⊥BG，∴CM⊥BG，
∴∠CMB=∠CMG=90°．
又∵CM=CM，∴△BCM≌△GCM，
∴BM=MG，即BM=

BG，
又由⑴得，BG=CN．
∴

．
⑶

如图，过点P作PM∥AC，交BG于M，交BO于N
∴∠BAC=∠BPM=α,又∠BPE＝

∠BCA，
∴∠MPF=∠BPF,又∵PF⊥BG,PF=PF
∴△BPF≌△MPF
∴MF=BF
∵四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD
∵MP∥AC, ∴MP⊥BD
∴∠MNB=∠ENP
∵∠NEP=∠FEB
又∠FBE+∠FEB=90°=∠NPE+∠NEP
∴∠FBE=∠NPE
∴△BMN∽≌△PEN
∴