(1)如图1,在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠DCP的平分线上一点.若∠AMN=90°.求证:AM=MN
题型:不详难度:来源:
(1)如图1,在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠DCP的平分线上一点.若∠AMN=90°. 求证:AM=MN.
下面给出一种证明的思路,你可以按这一思路证明,也可以选择另外的方法证明. 证明:在边AB上截取AE=MC,连ME. ∵正方形ABCD中,∠B=90°,∠AMN=90° ∴∠1=180°-∠AMN-∠AMB =180°-∠B-∠AMB=∠2 (下面请你完成余下的证明过程) (2)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图2),N是∠ACP的平分线上一点,则当∠AMN=60°时,结论AM=MN是否还成立?请说明理由. |
答案
(1)∵AE=MC, ∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°, ∴∠AEM=135°, ∵CN平分∠DCP, ∴∠PCN=45°, ∴∠AEM=∠MCN=135° 在△AEM和△MCN中: ∵ {∠AEM=∠MCNAE=MC∠EAM=∠CMN ∴△AEM≌△MCN, ∴AM=MN; (2)仍然成立. 在边AB上截取AE=MC,连接ME,
∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°, ∴∠ACP=120°, ∵AE=MC, ∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=60°, ∴∠AEM=120°, ∵CN平分∠ACP, ∴∠PCN=60°, ∴∠AEM=∠MCN=120°, ∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM, ∴△AEM≌△MCN, ∴AM=MN. |
解析
(1)由题中条件可得∠AEM=∠MCN=135°,再由两角夹一边即可判定三角形全等; (2)还是利用两角夹一边证明其全等,证明方法同(1). |
举一反三
如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,∠AOD=60°,AB=,AE⊥BD于点E,求OE的长。 |
如图,,点是的中点
(1)请说明的理由 (2)连结后,还能得出什么新的结论?请写出三个(不要求说明理由)(8分) |
正方形的对角线长为a,则它的对角线的交点到它的边的距离为( ★ ) |
如图,已知矩形纸片ABCD,点E 是AB的中点,点G是BC上的一点,∠BEG>60°,现沿直线EG将纸片折叠,使点B落在纸片上的点H处,连接AH,则与∠BEG相等的角的个数为( ★ )
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如图,请在下列四个关系①∥,②,③,④中,选出两个恰当的关系作为条件,推出四边形是平行四边形 ★ .(写出一种即可) |
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