如图,已知四边形ABCD是边长为2的正方形,以对角线BD为边作正三角形BDE,过E作DA 的延长线的垂线EF,垂足为F。(1)找出图中与EF相等的线段,并证明你
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如图,已知四边形ABCD是边长为2的正方形,以对角线BD为边作正三角形BDE,过E作DA 的延长线的垂线EF,垂足为F。
(1)找出图中与EF相等的线段,并证明你的结论; (2)求AF的长。 |
答案
(1)AF=EF; 理由如下:连接AE, ∵△DBE是正三角形, ∴EB=ED. ∵AD=AB,AE=AE, ∴△ABE≌△ADE. ∴∠BEA=∠DEA=×60°=30°. ∵∠EDA=∠EDB-∠ADB=60°-45°=15°, ∴∠EAF=∠AED+∠ADE=45°. ∵EF⊥AD, ∴△EFA是等腰直角三角形. ∴EF=AF. (2)设AF=x, ∵AD=2,BD=2=ED,FD=2+x, 在Rt△EFD中, 由勾股定理得EF2+FD2=ED2 即x2+(2+x)2=(2)2 ∴x=-1(x=--1舍去),∴AF=-1.
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解析
(1)连接AE,首先证明△ABE≌△ADE得到∠BEA=30°,再根据题意∠EAF=∠AED+∠ADE=45°,又知EF⊥AD,故可得AF=EF, (2)设AF=x,由勾股定理得EF2+FD2=ED2,列出等量关系式,解得x. |
举一反三
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=16cm,AB=12cm,BC=21cm,动点P从点B出发,沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动,动点Q从点A出发,在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动,点P,Q分别从点B,A同时出发,当点Q运动到点D时,点P随之停止运动,设运动的时间为t(秒). (1)当t为何值时,四边形PQDC是平行四边形. (2)当t为何值时,以C,D,Q,P为顶点的梯形面积等于60cm2? (3)是否存在点P,使△PQD是等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的t的值,若不存在,请说明理由. |
如图:某校一块长为2a米的正方形空地是七年级四个班的清洁区,其中分给七年级(1)班的清洁区是一块边长为(a-2b)米的正方形,(0<b<), (1)分别求出七(2)、七(3)班的清洁区的面积; (2)七(4)班的清洁区的面积比七(1)班的清洁区的面积多多少平方米? |
如图,在□ABCD中,AB=3,AD=4,∠ABC=60°,过BC的中点E作EF⊥AB,垂足为点F,与DC的延长线相交于点H,则△DEF的面积是 . |
如图,在矩形ABCD中,AD =4,DC =3,将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF(点A、B、E在同一直线上),连结CF,则CF = . |
已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°.点E是DC的中点,过点E作DC的垂线交AB于点P,交CB的延长线于点M.点F在线段ME上,且满足CF=AD,MF=MA.
(1)若∠MFC=120°,求证:AM=2MB; (2)求证:∠MPB=90°- ∠FCM. |
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