已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°.点E是DC的中点,过点E作DC的垂线交AB于点P,交CB的延长线于点M.点F在线段ME上,且满足
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已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°.点E是DC的中点,过点E作DC的垂线交AB于点P,交CB的延长线于点M.点F在线段ME上,且满足CF=AD,MF=MA.
(1)若∠MFC=120°,求证:AM=2MB; (2)求证:∠MPB=90°- ∠FCM. |
答案
(1)连结MD ∵点E是DC的中点,ME⊥DC ∴MD=MC 又∵AD=CF,MF=MA ∴△AMD≌△FMC ∴∠MAD=∠MFC=120° ∵AD∥BC,∠ABC=90° ∴∠BAD=90° ∴∠MAB=30° 在Rt△AMB中,∠MAB=30° ∴BM=AM.,即AM=2BM (2)∵△AMD≌△FMC ∴∠ADM=∠FCM ∵AD∥BC ∴∠ADM=∠CMD ∴∠CMD=∠FCM ∵MD=MC,ME⊥DC ∴∠DME==∠CME=∠CMD ∴∠CME=∠FCM 在在Rt△MBP中,∠MPB=90°-∠CME=90°- ∠FCM |
解析
(1)连接MD,由于点E是DC的中点,ME⊥DC,所以MD=MC,然后利用已知条件证明△AMD≌△FMC,根据全等三角形的性质可以推出∴∠MAD=∠MFC=120°,接着得到∠MAB=30°,再根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可证明AM=2BM; (2)利用(1)的结论得到∠ADM=∠FCM,又AD∥BC,所以∠ADM=∠CMD,由此得到∠CMD=∠FCM,再利用等腰三角形的性质即可得到∠CME=∠FCM,再根据已知条件即可解决问题. |
举一反三
如图,矩形的顶点、在数轴上,,点对应的数为,则点所对应的数为 ▲ . |
如图,点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点,过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点.设AC=2,BD=1,AP=x,△CMN的面积为y,则y关于x的函数图象大致形状是( ▲ )
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如图所示,点E、F、G、H分别为□ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点.求证:EF=HG. |
如图,是四边形的对角线上两点,. 求证:(1); (2)四边形是平行四边形. |
已知等腰梯形的一个底角为600,它的两底边分别长10cm、16cm,则等腰梯形的周长是_____________________. |
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