如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°.动点P、Q同时从点A出发,其中P以4cm/s的速度,沿A→B→C的路线向点C运动;Q以2cm/s的速度,

如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°.动点P、Q同时从点A出发,其中P以4cm/s的速度,沿A→B→C的路线向点C运动;Q以2cm/s的速度,

题型:不详难度:来源:
如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°.动点P、Q同时从点A出发,其中P以4cm/s的速度,沿A→B→C的路线向点C运动;Q以2cm/s的速度,沿A→C的路线向点C运动.当P、Q到达终点C时,整个运动随之结束,设运动时间为t秒.

(1)在点P、Q运动过程中,请判断PQ与对角线AC的位置关系,并说明理由;
(2)若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M,过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD(或CD)于点N.
①当t为何值时,点P、M、N在一直线上?
②当点P、M、N不在一直线上时,是否存在这样的t,使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1) 若0<t≤5,则AP=4t,AQ=2t. 则 ==,
又 ∵ AO=10,AB=20,∴ ==.∴ =,
又 ∠CAB=30°,∴ △APQ∽△ABO,∴ ∠AQP=90°,即PQ⊥AC. ………………4分  
当5﹤t≤10时,同理可由△PCQ∽△BCO 可得∠PQC=90°,即PQ⊥AC(考虑一种情况即可) 
∴ 在点P、Q运动过程中,始终有PQ⊥AC.
(2)① 如图,在RtAPM中,易知AM=,又AQ=2t,
QM=20-4t.
由AQ+QM=AM 得2t+20-4t=
解得t=,∴ 当t=时,点P、M、N在一直线上. …………………………8分 
② 存在这样的t,使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形.
设l交AC于H.
如图1,当点N在AD上时,若PN⊥MN,则∠NMH=30°.
∴ MH=2NH,得 20-4t-=2× 解得t=2, …………………10分

如图2,当点N在CD上时,若PM⊥MN,则∠HMP=30°.∴ MH=2PH,同理可得t=.
故 当t=2或 时,存在以PN为一直角边的直角三角形. …………………12分
解析

举一反三
已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,∠C=45°,上底AD = 8,AB=12,CD边的垂直平分线交BC边于点G,且交AB的延长线于点E,求AE的长.
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已知:如图,在四边形ABCD中, AD=BC,∠A、∠B均为锐角.

当∠A=∠B时,则CD与A B的位置关系是CD     AB,大小关系是CD     AB;
当∠A>∠B时,(1)中C D与A B的大小关系是否还成立,证明你的结论.
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如图1,平行四边形中,的垂直平分线交,则的周长是
A.6B.8C.9D.10

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如图,菱形的对角线相交于点请你添加一个条件:   ,使其为正方形
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已知如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,M、N分别 是OA、OC的中点. 求证:BM="DN" .
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