(1)证法一: 证明:在正方形ABCD和正方形AEFG中 ∠GAE=∠BAD=90° ……1分 ∠GAE+∠EAB=∠BAD+EAB 即∠GAB=∠EAD ……2分 又AG="AE " AB="AD" ∴△ABG≌△ADE ……4分 证法二: 证明:因为四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形,所以∠GAE=∠BAD=90°,AG=AE,AB=AD,所以△EAD可以看成是△GAB逆时针旋转90°得到, 所以△ABG≌△ADE (2)证法一: 我猜想∠BHD=90°理由如下: ∵△ABG≌△ADE ∴∠1=∠2 ……5分 而∠3=∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4 ∵∠2+∠4="90 " ∠1+∠3=90° ……6分 ∴∠BHD=90° ……7分 证法二: 我猜想∠BHD=90°理由如下: 由(1)证法(二)可知△EAD可以看成是△GAB逆时针旋转90°得到,BG与DE是一组对应边, 所以BG⊥DE,即∠BHD=90° (3)证法一: 当正方形ABCD绕点A逆时针旋转 0°<∠BAE<180°时,S1和S2总保持相等. ……8分 证明如下:由于0°<∠BAE<180°因此分三种情况: ①当0°<∠BAE<90°时 (如图10) 过点B作BM⊥直线AE于点M, 过点D作DN⊥直线AG于点N.
∵∠MAN=∠BAD=90° ∴∠MAB=∠NAD 又∠AMB=∠AND=90° AB=AD ∴△AMB≌△AND ∴BM="DN " 又AE=AG ∴ ∴ ……9分 ②当∠BAE=90°时 如图10() ∵AE="AG " ∠BAE =∠DAG =90°AB=AD ∴△ABE≌△ADG
∴ ……10分 ③当90°<∠BAE<180°时 如图10(b) 和①一样;同理可证 综上所述,在(3)的条件下,总有. ……11分 证法二: ①当0°<∠BAE<90°时,如图10(c) 作EM⊥AB于点M,作GN⊥AD交DA延长线于点N,
则∠GNA=∠EMA=90° 又∵四边形ABCD与 四边形AEFG都是正方形, ∴AG=AE,AB=AD ∴∠GAN+∠EAN=90°, ∠EAM+∠EAN=90° ∴∠GAN=∠EAM ∴△GAN≌△EAM(AAS)∴GN=EM
∴ ②③同证法一类似 证法三: 当正方形ABCD绕点A逆时针旋转0°<∠BAE<180°时,S1和S2总保持相等. ……8分
证明如下:由于0°<∠BAE<180°因此分三种情况: ①当0°<∠BAE<90°时 如图10(d) 延长GA至M使AM=AG,连接DM,则有
∵AE=AG=AM,AB=AD 又∠1+∠2=90° ∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3 ∴△ABE≌△ADM (SAS) ∴ ∴ ……9分 ②当∠BAE=90°时 (同证法一) ……10分 ③当90°<∠BAE<180°时如图10(e)和①一样; 同理可证 综上所述,在(3)的条件下,总有 ……11分
证法四: 当0°<∠BAE<90°时如图10(f)延长DA至M使AM=AD,连接GM,
则有 再通过证明 △ABE与△AMG全等从而证出 ②③同证法一类似 证法五: (这种证法用三角函数知识证明,无须分类证明) 如图10(g)四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形,
∴AG=AE,AB=AD 当∠BAE=时,∠GAD=180°-则 sin(180°-)=sin
即 ∴ |