已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作⊙O，⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接

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已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作⊙O，⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，若四边形AOED是平行四边形，求∠CAB的大小．

答案

（1）证明：连接OD；
∵AO=BO，BE=CE，
∴OE∥AC．
∴∠BOE=∠A，∠EOD=∠ODA．
又∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∴∠EOD=∠EOB．
又∵OD=OB，OE=OE，
∴△DOE≌△BOE，
∴∠ODE=∠B=90°．
即DE是⊙O的切线．

（2）由（1）得，OE∥AC，且OE=

1

2

AC；
∵四边形AOED为平行四边形，
∴OE=AD=CD，
∴四边形OECD为平行四边形，
∴∠C=∠DOE．
又∵∠A=∠DOE且∠B=90°，
∴∠A=∠C=45°．