如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=11.直角尺的直角顶点P在AD上滑动时(点P与A,D不重合),一直角边始终经过点C,另一直角边与AB交于点E.(1)△C

如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=11.直角尺的直角顶点P在AD上滑动时(点P与A,D不重合),一直角边始终经过点C,另一直角边与AB交于点E.(1)△C

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如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=11.直角尺的直角顶点P在AD上滑动时(点P与A,D不重合),一直角边始终经过点C,另一直角边与AB交于点E.
(1)△CDP与△PAE相似吗?如果相似,请写出证明过程;
(2)当∠PCD=30°时,求AE的长;
(3)是否存在这样的点P,使△CDP的周长等于△PAE周长的2倍?若存在,求DP的长;若不存在,请说明理由.
答案
(1)△CDP△PAE.(1分)
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=∠A=90°,CD=AB=6,(2分)
∴∠PCD+∠DPC=90°,(3分)
又∵∠CPE=90°,
∴∠EPA+∠DPC=90°,(4分)
∴∠PCD=∠EPA,(5分)
∴△CDP△PAE.(6分)

(2)在Rt△PCD中,由tan∠PCD=
PD
CD
,(7分)
PD=CD•tan∠PCD=6•tan30°=6×


3
3
=2


3
,(8分)
AP=AD-PD=11-2


3
,(9分)
解法1:由△CDP△PAE知:
PD
AE
=
CD
AP

AE=
PD•AP
CD
=
2


3
×(11-2


3
)
6
=
11
3


3
-2
,(10分)
解法2:由△CDP△PAE知:∠EPA=∠PCD=30°,
AE=AP•tan∠EAP=(11-2


3)
•tan30°=
11
3


3
-2
;(10分)

(3)假设存在满足条件的点P,设DP=x,则AP=11-x,
∵△CDP△PAE,
根据△CDP的周长等于△PAE周长的2倍,得到两三角形的相似比为2,
CD
AP
=2
6
11-x
=2
,(11分)
解得x=8,
此时AP=3,AE=4.(12分)
举一反三
四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且ADBC,AD=BC,如果补上下列条件中的,可以使四边形ABCD为矩形(  )
A.AC⊥BDB.AB=ADC.AB=CDD.AC=BD
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如图,矩形ABCD中,CE⊥BD于E,∠DCE:∠ECB=2:1.求∠ACE的度数.
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如图.矩形ABCD的对角线相交于点O.DEAC,CEBD.
(1)求证:四边形OCED是菱形;
(2)若∠ACB=30°,菱形OCED的面积为8


3
,求AC的长.
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如图1,△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形.

(1)四边形ABCD是菱形吗?为什么?
(2)如图2,将△BDC沿射线BD方向平移到△B1D1C1的位置,则四边形ABC1D1是平行四边形吗?为什么?
(3)在△BDC移动过程中,四边形ABC1D1有可能是矩形吗?如果是,请求出点B移动的距离(写出过程);如果不是,请说明理由(图3供操作时使用).
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如图,矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形的周长的和是86厘米,矩形的周长是30厘米,则对角线的长是______厘米.
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