如图,设在矩形ABCD中,点O为矩形对角线的交点,∠BAD的平分线AE交BC于点E,交OB于点F,已知AD=3,AB=3.(1)求证:△AOB为等边三角形;(2

如图,设在矩形ABCD中,点O为矩形对角线的交点,∠BAD的平分线AE交BC于点E,交OB于点F,已知AD=3,AB=3.(1)求证:△AOB为等边三角形;(2

题型:不详难度:来源:
如图,设在矩形ABCD中,点O为矩形对角线的交点,∠BAD的平分线AE交BC于点E,交OB于点F,已知AD=3,AB=


3

(1)求证:△AOB为等边三角形;
(2)求BF的长.
答案
(1)证明:在Rt△ABD中,BD=


AB2+AD2
=


32+


3
2
=2


3

∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OB=
1
2
BD=


3

又∵AB=


3

∴OA=OB=AB,
∴△AOB为等边三角形;

(2)∵AE是∠BAD的平分线,
∴∠BAE=45°,
∴△ABE是等腰直角三角形,△BEO是等腰三角形,
又∠EBO=90°-60°=30°,
∴∠BOE=(180°-30°)÷2=75°,
在△BOC中∠COE=180°-30°×2-75°=45°,
所以,在△BEF和△COE中





∠EBF=∠OCE=30°
BE=CO=


3
∠BEF=∠COE=45°

∴△BEF≌△COE(ASA),
∴BF=CE,
又CE=BC-BE=3-


3

∴BF=3-


3
举一反三
如图,O为矩形ABCD的中心,M为BC边上任一点,ON⊥OM且与CD边交于点N.若AB=6,AD=4,设OM=x,ON=y,则y与x的函数关系式为______.
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墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物,如图中所示的实线部分,小英将图中梯形下底的两个钉子拿掉,并将这根彩绳钉成一个长方形,如图中所示的虚线部分,求小英所钉成的长方形的长以及长方形的面积分别是多少?(相关数据如图中所示)
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在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上的动点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF的值为(  )
A.
12
5
B.2C.
5
2
D.1

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如图,四边形ABCD是矩形,AB:AD=4:3,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,连接DE,则DE:AC=(  )
A.1:3B.3:8C.8:27D.7:25

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若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°,则两条对角线相交所成的锐角是______.
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