如图,在Rt△OPQ中,∠POQ=90°,∠Q=30°,OP=43.四边形ABCD是菱形,点A在边PQ上,B、C在边QO上(B点在C点的左侧),且∠ABC=60

如图,在Rt△OPQ中,∠POQ=90°,∠Q=30°,OP=43.四边形ABCD是菱形,点A在边PQ上,B、C在边QO上(B点在C点的左侧),且∠ABC=60

题型:不详难度:来源:
如图,在Rt△OPQ中,∠POQ=90°,∠Q=30°,OP=4


3
.四边形ABCD是菱形,点A在边PQ上,B、C在边QO上(B点在C点的左侧),且∠ABC=60°.设BQ=x.
(1)试用含x的代数式表示菱形ABCD的边长;
(2)当点D在线段OP上时,求x的值;
(3)设菱形ABCD与△OPQ重合部分的面积为y,求y关于x的函数关系式;
(4)连接PD、OD.对于不同的x值,请你比较线段OD与PD的大小关系,直接写出结论.
答案
(1)∵∠Q=30°,∠ABC=60°,∴∠QAB=∠Q=30°.
∴BA=BQ=x,即菱形的边长为x;(2分)

(2)如图①,在Rt△DCO中,
∵∠DCO=60°,CD=x,
∴CO=
1
2
x

∴QO=QB+BC+CO=x+x+
1
2
x

在Rt△POQ中,∠Q=30°,PO=4


3

∴QO=12.∴
5
2
x
=12
x=
24
5
;(2分)

(3)如图①,过A作AH⊥BC于H.
在Rt△ABH中,∠ABH=60°,AB=x,∴AH=


3
2
x

∴当0<x≤
24
5
时,
y=x×


3
2
x
=


3
2
x2
(2分)
如图②,设CD与0P相关交于点E,AD与OP相交于点F.
在Rt△COE中,∠ECO=60°,CO=12-2x,
∴CE=24-4x.∵CD=x,∴DE=5x-24.
在Rt△DFE中,∠D=60°,
∴DF=
5x
2
-12
,EF=


3
(
5x
2
-12)

当
24
5
<x≤6时,
y=


3
2
x2-


3
2
5x
2
-12)2=-
21


3
8
x2+30


3
x-72


3


(4)如图③,作OP的中垂线
当0<x<4时,OD<DP;
当x=4时,OD=DP;
当4<x≤6时,OD>DP.
举一反三
如图,将菱形纸片ABCD折叠,使点A恰好落在菱形的对称中心O处,折痕为EF,若菱形ABCD的边长为2cm,∠A=120°,则EF=______cm.
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菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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如图.若要使平行四边形ABCD成为菱形.则需要添加的条件是(  )
A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD

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如图,锐角△ABC中,A关于BC的对称点为D,B关于AC为E.
(1)若△ABC为等腰三角形,即CB=CA,求证:△CDM≌△CEN;
(2)探究一;当锐角△ABC应满足什么条件时,四边形CDFE为菱形?
(3)探究二;当∠ACB应满足什么条件时,点C在DE直线上?当∠ACB满足什么条件,C在直线DE外?
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已知菱形的周长是52cm,一条对角线长是24cm,则它的面积是______cm2
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