如图,矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过O点的直线EF与AB,CD的延长线分别交于E,F.(1)求证:△BOE≌△DOF;(2)当EF与AC满足什么关系时
题型:河南省期末题难度:来源:
如图,矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过O点的直线EF与AB,CD的延长线分别交于E,F. (1)求证:△BOE≌△DOF; (2)当EF与AC满足什么关系时,以A,E,C,F为顶点的四边形是菱形?证明你的结论. |
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答案
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴OB=OD(矩形的对角线互相平分),AE∥CF(矩形的对边平行). ∴∠E=∠F,∠OBE=∠ODF. ∴△BOE≌△DOF(AAS). (2)解:当EF⊥AC时,四边形AECF是菱形. 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴OA=OC(矩形的对角线互相平分). 又由(1)△BOE≌△DOF得,OE=OF, ∴四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形) 又EF⊥AC, ∴四边形AECF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形). |
举一反三
如图,平行四边形ABCD中,AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线,根据现有的图形,请添加一个条件,使四边形AECF为菱形,则添加的一个条件可以是﹙ ﹚.(只需写出一个即可,图中不能再添加别的“点”和“线” |
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如图,菱形ABCD中,∠BAD=60°,M是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,若PM+PB的最小值是3,则AB长为( ). |
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菱形两条对角线的长为12cm、16cm,则菱形的周长为( ) |
一个菱形的对角线长度分别为6和12,则菱形的面积是( ). |
如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动.给出以下四个结论: ①AE=AF; ②∠CEF=∠CFE; ③当点E,F分别为边BC,DC的中点时,△AEF是等边三角形; ④当点E,F分别为边BC,DC的中点时,△AEF的面积最大.上述结论中正确的序号有( ).(把你认为正确的序号都填上) |
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