将两个大小一样的正方形ABCD和正方形CDEF如图放置，点B、C、F在同一直线上，BF=12，再将一直角三角板的直角顶点放置在D点上，DP交AB于点M，DQ交B

题型：不详难度：来源：

将两个大小一样的正方形ABCD和正方形CDEF如图放置，点B、C、F在同一直线上，BF=12，再将一直角三角板的直角顶点放置在D点上，DP交AB于点M，DQ交BF于点N．
（1）求证：△DBM≌△DFN；
（2）将三角板DPQ的直角顶点绕点D旋转时，四边形DMBN的面积是否变化？如果不变，请简要说明理由并求出它的面积；
（3）分别延长正方形的边CB和边EF，使它们的延长线分别与直角三角板的两边DP、DQ（或它们的延长线）交于点G和点H，试探究下列问题：
①线段BG与FH相等吗？说明你的理由；
②当线段FN的长是方程x²+x-12=0的一根时，试求出

NG

NH

的值．

答案

（1）证明：在大小一样的正方形ABCD和正方形CDEF中，
∠ABD=∠DFC=45°，BD=DF，
∵∠PDQ=90°，
∴∠BDM+∠BDN=90°，
又∵∠FDN+∠BDN=45°+45°=90°，
∴∠BDM=∠FDN，
∵在△DBM和△DFN中，

∠BDM=∠FDN BD=DF ∠ABD=∠DFC

，
∴△DBM≌△DFN（ASA）；

（2）∵△DBM≌△DFN，
∴S_△BDM=S_△FDN，
∴四边形DMBN的面积等于△BDF的面积，
∵BF=12，
∴CD=

1

2

×12=6，
∴S_△BDF=

1

2

BF•CD=

1

2

×12×6=36；

（3）①∵∠ABD=∠DFC=45°，
∴∠ABD+90°=∠DFC+90°，
即∠DBG=∠DFH，
∵在△BDG和△FDH中，

∠DBG=∠DFH BD=DF ∠BDM=∠FDN

，
∴△BDG≌△FDH（ASA），
∴BG=FH；

②解x²+x-12=0得，x₁=-4（舍去），x₂=3，
∴FN=3，
∵△DBM≌△DFN，
∴BM=FN=3，
∵BF=12，正方形ABCD和正方形CDEF大小一样，
∴BN=12-3=9，AB=

1

2

×12=6，
∵tan∠AMD=tan∠BMG，
∴

AD

AM

=

BG

BM

，
即

6

3

=

BG

3

，
解得BG=6，
∵△BDG≌△FDH，
∴FH=BG=6，
∴NG=BG+BN=6+9=15，
根据勾股定理，NH=

FN2+FH2

=

32+62

=3

5

，
∴

NG

NH

=

15

3 5

=

5

．