将两个大小一样的正方形ABCD和正方形CDEF如图放置,点B、C、F在同一直线上,BF=12,再将一直角三角板的直角顶点放置在D点上,DP交AB于点M,DQ交B

将两个大小一样的正方形ABCD和正方形CDEF如图放置,点B、C、F在同一直线上,BF=12,再将一直角三角板的直角顶点放置在D点上,DP交AB于点M,DQ交B

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将两个大小一样的正方形ABCD和正方形CDEF如图放置,点B、C、F在同一直线上,BF=12,再将一直角三角板的直角顶点放置在D点上,DP交AB于点M,DQ交BF于点N.
(1)求证:△DBM≌△DFN;
(2)将三角板DPQ的直角顶点绕点D旋转时,四边形DMBN的面积是否变化?如果不变,请简要说明理由并求出它的面积;
(3)分别延长正方形的边CB和边EF,使它们的延长线分别与直角三角板的两边DP、DQ(或它们的延长线)交于点G和点H,试探究下列问题:
①线段BG与FH相等吗?说明你的理由;
②当线段FN的长是方程x2+x-12=0的一根时,试求出
NG
NH
的值.
答案
(1)证明:在大小一样的正方形ABCD和正方形CDEF中,
∠ABD=∠DFC=45°,BD=DF,
∵∠PDQ=90°,
∴∠BDM+∠BDN=90°,
又∵∠FDN+∠BDN=45°+45°=90°,
∴∠BDM=∠FDN,
∵在△DBM和△DFN中,





∠BDM=∠FDN
BD=DF
∠ABD=∠DFC

∴△DBM≌△DFN(ASA);

(2)∵△DBM≌△DFN,
∴S△BDM=S△FDN
∴四边形DMBN的面积等于△BDF的面积,
∵BF=12,
∴CD=
1
2
×12=6,
∴S△BDF=
1
2
BF•CD=
1
2
×12×6=36;

(3)①∵∠ABD=∠DFC=45°,
∴∠ABD+90°=∠DFC+90°,
即∠DBG=∠DFH,
∵在△BDG和△FDH中,





∠DBG=∠DFH
BD=DF
∠BDM=∠FDN

∴△BDG≌△FDH(ASA),
∴BG=FH;

②解x2+x-12=0得,x1=-4(舍去),x2=3,
∴FN=3,
∵△DBM≌△DFN,
∴BM=FN=3,
∵BF=12,正方形ABCD和正方形CDEF大小一样,
∴BN=12-3=9,AB=
1
2
×12=6,
∵tan∠AMD=tan∠BMG,
AD
AM
=
BG
BM

6
3
=
BG
3

解得BG=6,
∵△BDG≌△FDH,
∴FH=BG=6,
∴NG=BG+BN=6+9=15,
根据勾股定理,NH=


FN2+FH2
=


32+62
=3


5

NG
NH
=
15
3


5
=


5
举一反三
如图,在边长为2的正方形ABCD中,M为边AD的中点,延长MD至点E,使ME=MC,以DE为边作正方形DEFG,点G在边CD上,则DG的长为(  )
A.


3
-1
B.3-


5
C.


5
+1
D.


5
-1

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2
,则O点到BE的距离OM=______.
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