△ABC是一张等腰直角三角形纸板,∠C=90°,AC=BC=2,(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪

△ABC是一张等腰直角三角形纸板,∠C=90°,AC=BC=2,(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪

题型:不详难度:来源:
△ABC是一张等腰直角三角形纸板,∠C=90°,AC=BC=2,
(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积大?请说明理由.
(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得正方形面积为s1;按照甲种剪法,在余下的△ADE和△BDF中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为s2(如图2),则s2=______;再在余下的四个三角形中,用同样方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形面积和为s3,继续操作下去…,则第10次剪取时,s10=______;
(3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积之和.
答案
(1)解法1:如图甲,由题意,得AE=DE=EC,即EC=1,S正方形CFDE=12=1
如图乙,设MN=x,则由题意,得AM=MQ=PN=NB=MN=x,
3x=2


2

解得x=
2


2
3

S正方形PNMQ=(
2


2
3
)2=
8
9

又∵1>
8
9

∴甲种剪法所得的正方形面积更大.
说明:图甲可另解为:由题意得点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点,S正方形OFDE=1.

解法2:如图甲,由题意得AE=DE=EC,即EC=1,
如图乙,设MN=x,则由题意得AM=MQ=QP=PN=NB=MN=x,
3x=2


2

解得x=
2


2
3

又∵1>
2


2
3
,即EC>MN.
∴甲种剪法所得的正方形面积更大.

(2)S2=
1
2
S10=
1
29


(3)解法1:探索规律可知:Sn=
1
2n-1

剩余三角形面积和为2-(S1+S2+…+S10)=2-(1+
1
2
+…+
1
29
)=
1
29

解法2:由题意可知,
第一次剪取后剩余三角形面积和为2-S1=1=S1
第二次剪取后剩余三角形面积和为S1-S2=1-
1
2
=
1
2
=S2

第三次剪取后剩余三角形面积和为S2-S3=
1
2
-
1
4
=
1
4
=S3


第十次剪取后剩余三角形面积和为S9-S10=S10=
1
29
举一反三
在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点P是在线段BC上任意一点(与点B不重合),∠BPE=
1
2
∠BCA,PE交BO于点E,过点B作BF⊥PE,垂足为F,交AC于点G.
(1)若ABCD为正方形,
①如图(1),当点P与点C重合时.△BOG是否可由△POE通过某种图形变换得到?证明你的结论;
②结合图(2)求
BF
PE
的值;
(2)如图(3),若ABCD为菱形,记∠BCA=α,请探究并直接写出
BF
PE
的值.(用含α的式子表示)
题型:不详难度:| 查看答案
如图1,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,AF平分∠BAC,交BD于点F.
(1)求证:EF+
1
2
AC=AB;
(2)点C1从点C出发,沿着线段CB向点B运动(不与点B重合),同时点A1从点A出发,沿着BA的延长线运动,点C1与A1的运动速度相同,当动点C1停止运动时,另一动点A1也随之停止运动.如图2,A1F1平分∠BA1C1,交BD于点F1,过点F1作F1E1⊥A1C1,垂足为E1,请猜想E1F1
1
2
A1C1与AB三者之间的数量关系,并证明你的猜想;
(3)在(2)的条件下,当A1E1=3,C1E1=2时,求BD的长.
题型:不详难度:| 查看答案
(1)填空:如图1,在正方形PQRS中,已知点M、N分别在边QR、RS上,且QM=RN,连接PN、SM相交于点O,则∠POM=______度;
(2)如图2,在等腰梯形ABCD中,已知ABCD,BC=CD,∠ABC=60度.以此为部分条件,构造一个与上述命题类似的正确命题并加以证明.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,四边形ABCD是正方形,点P是BC上任意一点,DE⊥AP于点E,BF⊥AP于点F,CH⊥DE于点H,BF的延长线交CH于点G.
(1)求证:AF-BF=EF;
(2)四边形EFGH是什么四边形?并证明;
(3)若AB=2,BP=1,求四边形EFGH的面积.
题型:不详难度:| 查看答案
正方形的边长为a,则它的对角线的交点到边的距离为(  )
A.
1
2
a
B.
1
3
a
C.


2
2
a
D.


2
4
a
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.