在正方形ABCD中:(1)已知:如图①,点E、F分别在BC、CD上,且AE⊥BF,垂足为M,求证:AE=BF.(2)如图②,如果点E、F、G分别在BC、CD、D

在正方形ABCD中:(1)已知:如图①,点E、F分别在BC、CD上,且AE⊥BF,垂足为M,求证:AE=BF.(2)如图②,如果点E、F、G分别在BC、CD、D

题型:不详难度:来源:
在正方形ABCD中:
(1)已知:如图①,点E、F分别在BC、CD上,且AE⊥BF,垂足为M,求证:AE=BF.
(2)如图②,如果点E、F、G分别在BC、CD、DA上,且GE⊥BF,垂足M,那么GE、BF相等吗?证明你的结论.
(3)如图③,如果点E、F、G、H分别在BC、CD、DA、AB上,且GE⊥HF,垂足M,那么GE、HF相等吗?证明你的结论.
答案
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,AE⊥BF,
∴∠BAE+∠ABM=90°,∠CBF+∠ABM=90°,
∴∠BAE=∠CBF,
∵在△ABE和△BCF中,





∠ABC=∠C=90°
∠BAE=∠CBF
AB=BC

∴△ABE≌△BCF(AAS),
∴AE=BF;

(2)GE=BF.
证明:如图②,过点A作ANGE,
∵ADBC,
∴四边形ANEG是平行四边形,
∴AN=GE,
∵GE⊥BF,
∴AN⊥BF,
由(1)可得△ABN≌△BCF,
∴AN=BF,
∴GE=BF;

(3)GE=HF.
证明:如图③,分别过点A、B作APGE,BQHF,
∵ADBC,ABDC,
∴四边形APEG、四边形BQFH为平行四边形,
∴AP=GE,BQ=HF,
∵GE⊥HF,
∴AP⊥BQ,
由(1)可得△ABP≌△BCQ,
∴AP=BQ,
∴GE=HF.
举一反三
如图,正方形DEMF内接于△ABC,AQ⊥BC于Q,交DE于P,若S△ADE=1,S正方形DEFM=4,求S△ABC
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数学课上,李老师出示了这样一道题目:如图1,正方形ABCD的边长为12,P为边BC延长线上的一点,E为DP的中点,DP的垂直平分线交边DC于M,交边AB的延长线于N.当CP=6时,EM与EN的比值是多少?
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:过E作直线平行于BC交DC,AB分别于F,G,如图2,则可得:
DF
FC
=
DE
EP
,因为DE=EP,所以DF=FC.可求出EF和EG的值,进而可求得EM与EN的比值.
(1)请按照小明的思路写出求解过程.
(2)小东又对此题作了进一步探究,得出了DP=MN的结论,你认为小东的这个结论正确吗?如果正确,请给予证明;如果不正确,请说明理由.
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如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下列问题:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为______,数量关系为______.
②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°点D在线段BC上运动.试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?并说明理由.
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如图,F为正方形ABCD的对角线AC上一点,FE⊥AD于点E,M为CF的中点.
(1)求证:MB=MD;
(2)求证:ME=MB.
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如图,在四边形ABCD中,点E是线段AD上的任意一点(E与A,D不重合),G,F,H分别是BE,BC,CE的中点.
(1)证明:四边形EGFH是平行四边形;
(2)在(1)的条件下,若EF⊥BC,且EF=
1
2
BC,证明:平行四边形EGFH是正方形.
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