数学课上,李老师出示了这样一道题目:如图1,正方形ABCD的边长为12,P为边BC延长线上的一点,E为DP的中点,DP的垂直平分线交边DC于M,交边AB的延长线

数学课上,李老师出示了这样一道题目:如图1,正方形ABCD的边长为12,P为边BC延长线上的一点,E为DP的中点,DP的垂直平分线交边DC于M,交边AB的延长线

题型:不详难度:来源:
数学课上,李老师出示了这样一道题目:如图1,正方形ABCD的边长为12,P为边BC延长线上的一点,E为DP的中点,DP的垂直平分线交边DC于M,交边AB的延长线于N.当CP=6时,EM与EN的比值是多少?
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:过E作直线平行于BC交DC,AB分别于F,G,如图2,则可得:
DF
FC
=
DE
EP
,因为DE=EP,所以DF=FC.可求出EF和EG的值,进而可求得EM与EN的比值.
(1)请按照小明的思路写出求解过程.
(2)小东又对此题作了进一步探究,得出了DP=MN的结论,你认为小东的这个结论正确吗?如果正确,请给予证明;如果不正确,请说明理由.
答案
(1)过E作直线GE平行于BC交DC,AB分别于点F,G,(如图2)
DF
FC
=
DE
EP
EM
EN
=
EF
EG
,GF=BC=12,
∵DE=EP,
∴DF=FC,
EF=
1
2
CP=
1
2
×6=3
,EG=GF+EF=12+3=15,
EM
EN
=
EF
EG
=
3
15
=
1
5


(2)证明:正确,
作MHBC交AB于点H,(如图1)
则MH=CB=CD,∠MHN=90°,
∵∠DCP=180°-90°=90°,
∴∠DCP=∠MHN,
∵NE是DP的垂直平分线,
∵∠MNH=∠CMN=∠DME=90°-∠CDP,∠DPC=90°-∠CDP,
∴∠DPC=∠MNH,
∴△DPC≌△MNH,
∴DP=MN.
举一反三
如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下列问题:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为______,数量关系为______.
②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°点D在线段BC上运动.试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?并说明理由.
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如图,F为正方形ABCD的对角线AC上一点,FE⊥AD于点E,M为CF的中点.
(1)求证:MB=MD;
(2)求证:ME=MB.
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如图,在四边形ABCD中,点E是线段AD上的任意一点(E与A,D不重合),G,F,H分别是BE,BC,CE的中点.
(1)证明:四边形EGFH是平行四边形;
(2)在(1)的条件下,若EF⊥BC,且EF=
1
2
BC,证明:平行四边形EGFH是正方形.
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在四边形ABCD中,若给出四个条件:①AB=BC,②∠BAD=90°,③AC⊥BD,④AC=BD且互相平分.其中选择两个可推出四边形ABCD是正方形,你认为这两个条件是______.(填序号,只需填一组)
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如图,已知小正方形ABCD的面积为1,把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1;把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2;以此下去…,则正方形A4B4C4D4的面积为______.
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