证明:过P作PG⊥AB于点G, ∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点, ∴GP=EP, 在△GPB中,∠GBP=45°, ∴∠GPB=45°, ∴GB=GP, 同理,得PE=BE, ∵AB=BC=GF, ∴AG=AB-GB,FP=GF-GP=AB-GB, ∴AG=PF, ∴△AGP≌△FPE, ∴AP=EF,故①正确; 延长AP到EF上于一点H, ∴∠PAG=∠PFH, ∵∠APG=∠FPH, ∴∠PHF=∠PGA=90°,即AP⊥EF,故②正确; ③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点,∠ADP=45度, ∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时,△APD是等腰三角形, 除此之外,△APD不是等腰三角形,故③错误. ∴∠PFE=∠BAP,故④正确; ∵GF∥BC, ∴∠DPF=∠DBC, 又∵∠DPF=∠DBC=45°, ∴∠PDF=∠DPF=45°, ∴PF=DF=EC, ∴在Rt△DPF中,DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2, ∴DP=EC,故⑤正确. ∴其中正确结论的序号是①②④⑤. |