如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接EF给出下列五个结论:①AP=EF;②AP⊥EF;③△APD一定是等腰三角

如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接EF给出下列五个结论:①AP=EF;②AP⊥EF;③△APD一定是等腰三角

题型:不详难度:来源:
如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接EF给出下列五个结论:①AP=EF;②AP⊥EF;③△APD一定是等腰三角形;④∠PFE=∠BAP;⑤PD=


2
EC.其中正确结论的序号是______.
答案
证明:过P作PG⊥AB于点G,
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,
∴GP=EP,
在△GPB中,∠GBP=45°,
∴∠GPB=45°,
∴GB=GP,
同理,得PE=BE,
∵AB=BC=GF,
∴AG=AB-GB,FP=GF-GP=AB-GB,
∴AG=PF,
∴△AGP≌△FPE,
∴AP=EF,故①正确;
延长AP到EF上于一点H,
∴∠PAG=∠PFH,
∵∠APG=∠FPH,
∴∠PHF=∠PGA=90°,即AP⊥EF,故②正确;
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点,∠ADP=45度,
∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时,△APD是等腰三角形,
除此之外,△APD不是等腰三角形,故③错误.
∴∠PFE=∠BAP,故④正确;
∵GFBC,
∴∠DPF=∠DBC,
又∵∠DPF=∠DBC=45°,
∴∠PDF=∠DPF=45°,
∴PF=DF=EC,
∴在Rt△DPF中,DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2
∴DP=


2
EC
,故⑤正确.
∴其中正确结论的序号是①②④⑤.
举一反三
如图,在边长为2的正方形ABCD中,E是AB延长线上一点,且BE=BD,F是CE的中点,则△BDF的面积是(  )
A.


2
+1
B.2


2
+1
C.2


2
+2
D.


6

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如图,正方形OABC的边长为1,点P在AB上,∠AOP=30°,OP的延长线交CB的延长线于点Q,求PA和BQ的长.
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如图,在矩形ABCD中,AF、BE、CE、DF分别是矩形的四个角的角平分线,E、M、F、N是其交点,求证:四边形EMFN是正方形.
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已知:如图,在正方形ABCD中,F是AD的中点,BF与AC交于点G,则△BFC与四边形CGFD的面积之比是______.
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在正方形ABCD中,O是对角线AC、BD的交点,过O作OE⊥OF,分别交AB、BC于E、F,若AE=4,CF=3,则EF的长为(  )
A.7B.5C.4D.3

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