(1)如图(1),点M,N分别在等边△ABC的BC,AC边上,且BM=CN,AM,BN交于点Q.求证:∠BQM=60°.(2)判断下列命题的真假性:①若将题(1

(1)如图(1),点M,N分别在等边△ABC的BC,AC边上,且BM=CN,AM,BN交于点Q.求证:∠BQM=60°.(2)判断下列命题的真假性:①若将题(1

题型:不详难度:来源:
(1)如图(1),点M,N分别在等边△ABC的BC,AC边上,且BM=CN,AM,BN交于点Q.求证:∠BQM=60°.
(2)判断下列命题的真假性:
①若将题(1)中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换,得到的是否仍是真命题?
②若将题(1)中的点M,N分别移动到BC,CA的延长线上,是否仍能得到∠BQM=60°?(如图2)
③若将题(1)中的条件“点M,N分别在正△ABC的BC,AC边上”改为“点M,N分别在正方形ABCD的BC,CD边上”,是否仍能得到∠BQM=60°?(如图3)
在下列横线上填写“是”或“否”:①______;②______;③______.并对②,③的判断,选择其中的一个给出证明.
答案
(1)证明:在△ABM和△BCN中,





BM=CN
∠ABM=∠BCN
AB=BC

∴△ABM≌△BCN(SAS),
∴∠BAM=∠CBN,
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60;

(2)①是;②是;③否;
②的证明:如图,
在△ACM和△BAN中,





CM=AN
∠ACM=∠BAN=120°
AC=AB

∴△ACM≌△BAN(SAS),
∴∠AMC=∠BNA,
∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°,
∴∠BQM=60°;
③的证明:如图,
在Rt△ABM和Rt△BCN中,





BM=CN
∠ABC=∠C
AB=AC

∴Rt△ABM≌Rt△BCN(SAS),
∴∠AMB=∠BNC.
又∵∠NBM+∠BNC=90°,
∴∠QBM+∠QMB=90°,
∴∠BQM=90°,即∠BQM≠60°.
举一反三
已知三个边长分别为2、3、5的正方形如图排列,则图中阴影部分面积为______.
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如图,正方形ABCD中,E是AD的中点,BM⊥CE,AB=6,则BM=______.
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如图,已知直线l1l2l3l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则sinα=______.
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将边长分别为


2
2


2
3


2
4


2
、…的正方形的面积分别记作S1、S2、S3、S4,…,计算S2-S1,S3-S2,S4-S3,….若边长为n•


2
(n为正整数)的正方形面积记作Sn,根据你的计算结果,猜想Sn-Sn-1=______.(用含n的式子表示)
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如图,在正方形ABCD中,两条对角线相交于点O,∠BCA的平分线交BD于E,若正方形ABCD的周长是12cm,则DE=______cm.
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