命题:已知如图所示,正方形ABCD的对角线的交点为O,E是AC上一点,AG⊥EB,垂足为G,AG交BD于F,则OE=OF.(1)证明上述命题.(2)对上述命题,
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命题:已知如图所示,正方形ABCD的对角线的交点为O,E是AC上一点,AG⊥EB,垂足为G,AG交BD于F,则OE=OF. (1)证明上述命题.
(2)对上述命题,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB交EB的延长线于点G,AG的延长线交DB的延长线于点F,其他条件不变,如图所示,则结论“OE=OF”还成立吗?若成立,请你证明,若不成立,请说明理由.
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答案
(1)证明:∵∠AFO+∠CAF=90°,∠AEB+∠CAF=90°, ∴∠AFO=∠AEB, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AO=OB, 又∵∠AOB=∠BOE=90°, ∴△AOF≌△BOE, ∴OE=OF;
(2)OE=OF. 证明:∵∠GBF+∠F=90°,∠OBE+∠E=90°,∠GBF=∠DBE(对顶角相等), ∴∠E=∠F, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AO=OB, 又∵∠AOB=∠BOE=90°, ∴△AOF≌△BOE, ∴OE=OF. |
举一反三
如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为______. |
如图,有一块边长为6的正方形,将一块足够大的直角三角板的顶点放在其对角线交点O处,则重叠部分(四边形OABC)的面积为______. |
在△ABC中,∠C=90°,四边形ABDE,AGFC都是正方形,如图,求证:BG=EC. |
如图,正方形ABCD中,E、F分别为AB、CD的中点,连接DE、BF、CE、AF,正方形ABCD的面积为1,则阴影面积为( ) |
下列命题不正确的是( )A.对角线相等的菱形是正方形 | B.对角线互相垂直的矩形是正方形 | C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 | D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 |
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