命题:已知如图所示,正方形ABCD的对角线的交点为O,E是AC上一点,AG⊥EB,垂足为G,AG交BD于F,则OE=OF.(1)证明上述命题.(2)对上述命题,

命题:已知如图所示,正方形ABCD的对角线的交点为O,E是AC上一点,AG⊥EB,垂足为G,AG交BD于F,则OE=OF.(1)证明上述命题.(2)对上述命题,

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命题:已知如图所示,正方形ABCD的对角线的交点为O,E是AC上一点,AG⊥EB,垂足为G,AG交BD于F,则OE=OF.
(1)证明上述命题.

魔方格

(2)对上述命题,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB交EB的延长线于点G,AG的延长线交DB的延长线于点F,其他条件不变,如图所示,则结论“OE=OF”还成立吗?若成立,请你证明,若不成立,请说明理由.

魔方格
答案
(1)证明:∵∠AFO+∠CAF=90°,∠AEB+∠CAF=90°,
∴∠AFO=∠AEB,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AO=OB,
又∵∠AOB=∠BOE=90°,
∴△AOF≌△BOE,
∴OE=OF;

(2)OE=OF.
证明:∵∠GBF+∠F=90°,∠OBE+∠E=90°,∠GBF=∠DBE(对顶角相等),
∴∠E=∠F,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AO=OB,
又∵∠AOB=∠BOE=90°,
∴△AOF≌△BOE,
∴OE=OF.
举一反三
如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为______.魔方格
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如图,有一块边长为6的正方形,将一块足够大的直角三角板的顶点放在其对角线交点O处,则重叠部分(四边形OABC)的面积为______.魔方格
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在△ABC中,∠C=90°,四边形ABDE,AGFC都是正方形,如图,求证:BG=EC.魔方格
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如图,正方形ABCD中,E、F分别为AB、CD的中点,连接DE、BF、CE、AF,正方形ABCD的面积为1,则阴影面积为(  )
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.
1
5
魔方格
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下列命题不正确的是(  )
A.对角线相等的菱形是正方形
B.对角线互相垂直的矩形是正方形
C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
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