在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点Q是CD上任意一点,DP⊥AQ交BC于点P.(1)求证:DQ=CP;(2)OP与OQ有何关系?试证明你的结论.

在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点Q是CD上任意一点,DP⊥AQ交BC于点P.(1)求证:DQ=CP;(2)OP与OQ有何关系?试证明你的结论.

题型:不详难度:来源:
在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点Q是CD上任意一点,DP⊥AQ交BC于点P.
(1)求证:DQ=CP;
(2)OP与OQ有何关系?试证明你的结论.魔方格
答案
(1)证明:∵正方形ABCD中,∠ADC=90°,即∠ADP+∠PDC=90°,
又∵DP⊥AQ,
∴∠DAQ+∠ADP=90°,
∴∠DAQ=∠PDC,
∵在△ADQ和△CDP中,





∠DAQ=∠PDC
AD=DC
∠ADQ=∠DCP

∴△ADQ≌△CDP(ASA),
∴DQ=CP;

(2)OP=OQ且OP⊥OQ.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ODQ=∠OCP,
∵在△OCP和△ODQ中,





OD=OP
∠ODQ=∠OCP
DQ=CP

∴△OCP≌△ODQ(SAS),
∴OP=OQ,且∠DOQ=∠POC
又∵∠DOC=90°,
∴∠QOP=90°,
则OP⊥OQ.
举一反三
如图,边长为4的正方形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线分别交AD、BC于E、F,则阴影部分的面积是______.魔方格
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阅读探究题:如图1,四边形ABCD是正方形(正方形的四边相等,四个角都是直角),点E是边BC的中点.∠AEF=90°,且EF交∠DCG的平分线CF于点F,

魔方格

(1)求出角∠ECF的度数?
(2)求证:AE=EF.
(3)如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为这样的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
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如图,每个小正方形的边长为1,把阴影部分剪下来,用剪下来的阴影拼成一个正方形,那么新正方形的边长是______.魔方格
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正方形面积为36,则对角线的长为(  )
A.6B.6


2
C.9D.9


2
题型:不详难度:| 查看答案
如图,已知四边形ABCD、AEFG均为正方形,∠BAG=α(0°<α<180°).
(1)求证:BE=DG,且BE⊥DG;
(2)设正方形ABCD、AEFG的边长分别是3和2,线段BD、DE、EG、GB所围成封闭图形的面积为S.当α变化时,指出S的最大值及相应的α值.(直接写出结果,不必说明理由)魔方格
题型:资阳难度:| 查看答案
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