(1)证明: 证法一:∵四边形ABCD,AEFG均为正方形, ∴∠DAB=∠GAE=90°,AD=AB,AG=AE,(2分) ∴将AD、AG分别绕点A按顺时针方向旋转90°,它们恰好分别与AB、AE重合. 即点D与点B重合,点G与点E重合.(3分) ∴DG绕点A顺时针旋转90°与BE重合,(5分) ∴BE=DG,且BE⊥DG.(6分) 证法二:∵四边形ABCD、AEFG均为正方形, ∴∠DAB=∠GAE=90°,AD=AB,AG=AE,(2分) ∴∠DAB+α=∠GAE+α, ∴∠DAG=∠BAE, ①当α≠90°时,由前知△DAG≌△BAE(SAS),(2分) ∴BE=DG,(3分) ∴∠ADG=∠ABE,(4分) 设直线DG分别与直线BA、BE交于点M、N, 又∵∠AMD=∠BMN,∠ADG+∠AMD=90°, ∴∠ABE+∠BMN=90°,(5分) ∴∠BND=90°, ∴BE⊥DG,(6分) ②当α=90°时,点E、点G分别在BA、DA的延长线上,显然BE=DG,且BE⊥DG. (说明:未考虑α=90°的情形不扣分)
(2)当α=90°时,点E、点G分别在BA、DA的延长线上,形成的图形是一个等腰梯形BDEG, 通过观察比较可知,当α=90°时,S有最大值,且S=×3×2×2+×2×2+×3×3=.(7分) 当S取得最大值时,α=90°.(8分) |