如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E；（1）求证：BE=CE；（2）若以O、D、E、C为

题型：不详难度：来源：

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E；
（1）求证：BE=CE；
（2）若以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，⊙O的半径为r，求△ABC的面积；
（3）若EC=4，BD=4

3

，求⊙O的半径OC的长．

答案

（1）证明：连接CD，由AC是直径知CD⊥AB；
DE、CE都是切线，所以DE=CE，∠EDC=∠ECD；
又∠B+∠ECD=90°，∠BDE+∠EDC=90°；
所以∠B=∠BDE，所以BE=DE，从而BE=CE；

（2）连接OD，


当以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，DE=EC=OC=OD=r；
从而BE=r，即△ABC是一个等腰直角三角形；
AC=AB=2r，S_△ABC=2r²；

（3）若EC=4，BD=4

3

，则BC=8；
在Rt△BDC中，cos∠CBD=

BD

BC

=

3

2

；所以∠CBD=30°；
在Rt△ABC中，

AC

BC

=tan30°，即AC=BCtan30°=8×

3

3

=

8 3

3

，OC=

AC

2

=

4 3

3

；
另设OC=r，AD=x；由EC=4，BD=4

3

得BC=8，DC=4；
则：

16+x2=4r2 64+4r2=(4 3 +x)2

，解得

x= 4 3 3 r= 4 3 3

；即OC=

4 3

3

．