如图,在平面直角坐标系中,已知点B(﹣2,0),A(m,0)(﹣<m<0),以AB为边在x轴下方作正方形ABCD,点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆除点D以

如图,在平面直角坐标系中,已知点B(﹣2,0),A(m,0)(﹣<m<0),以AB为边在x轴下方作正方形ABCD,点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆除点D以

题型:湖南省期末题难度:来源:
如图,在平面直角坐标系中,已知点B(﹣2,0),A(m,0)(﹣<m<0),以AB为边在x轴下方作正方形ABCD,点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆除点D以外的另一个交点,连接BE与AD相交于点F.
(1)求证:BF=DO;
(2)设直线l是△BDO的边BO的垂直平分线,且与BE相交于点G.若G是△BDO的外心,试求经过B、F、O三点的抛物线的解析表达式;
(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在点P,使该点关于直线BE的对称点在x轴上?若存在,求出所有这样的点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案

(1 )证明:在△ABF 和△ADO 中,
∵四边形ABCD 是正方形,
∴AB=AD ,∠BAF= ∠DAO=90 °.
又∵∠ABF= ∠ADO ,
∴△ABF ≌△ADO ,
∴BF=DO ;
(2 )解:由(1 ),有△ABF ≌△ADO ,
∵AO=AF=m .
∴点F (m ,m ).
∵G 是△BDO 的外心,
∴点G 在DO 的垂直平分线上.
∴点B 也在DO 的垂直平分线上.
∴△DBO 为等腰三角形,
∵AB=AD ,
在Rt △BAD 中,由勾股定理得:
 
设经过B ,F ,O 三点的抛物线的解析表达式为y=ax2+bx+c (a ≠0 ).
∵抛物线过点O (0 ,0 ),
∴c=0 .
∴y=ax2+bx .  ①
把点B 的坐标带入①中,
 


∴抛物线的解析表达式为
(3 )解:假定在抛物线上存在一点P ,使点P 关于直线BE 的对称点P" 在x 轴上.
∵BE 是∠OBD 的平分线,
∴x 轴上的点P" 关于直线BE 的对称点P 必在直线BD 上,
即点P 是抛物线与直线BD 的交点.
设直线BD 的解析表达式为y=kx+b ,并设直线BD 与y 轴交于点Q ,则由△BOQ 是等腰直角三角形.
∴|OQ|=|OB| .
 


∴直线BD 的解析表达式为 .

 
∴在抛物线上存在点P1 (   ,0 ),P2 (-2 ,  ),它们关于直线BE 的对称点都在x 轴上.


举一反三
如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别是AD、BC的中点,E、F分别是BM、CM中点.
(1)求证:四边形MENF是菱形;
(2)若四边形MENF是正方形,请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系,并证明你的结论.
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已知:如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1,PB=.下列结论:①△APD≌△AEB;②点B到直线AE的距离为;③EB⊥ED;④S△APD+S△APB=1+;⑤S正方形ABCD=4+.其中正确结论的序号是
[     ]
A.①③④
B.①②⑤
C.③④⑤
D.①③⑤
题型:湖北省月考题难度:| 查看答案
Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC边于点D,E是边BC的中点,连接OD、DE.
①求证:直线DE是⊙O的切线.
②当⊙O的半径为,DE=1时,求AD长.
③探究:当Rt△ABC的边AB、BC满足什么条件时,四边形OBED是正方形?说明理由.
题型:湖北省月考题难度:| 查看答案
如图,正方形木框ABCD的边长为1,四个角用铰链接着,一边BC固定在桌面上,沿AD方向用力推.正方形变成四边形A′BCD′,设A′D′交DC于点E,当E是DC的中点时,两四边形ABCD、A′BCD′重叠部分的面积是(    ).
题型:江西省月考题难度:| 查看答案
如图,正方形ABCD,以AD为边作等边△ADE,则∠AEB的度数为 _________
题型:江苏月考题难度:| 查看答案
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