如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=BC。（1）求∠BAC的度数；（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=BC。
（1）求∠BAC的度数；
（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H，求证：四边形AFHG是正方形。
（3）若BD=6，CD=4，求AD的长。

答案

解：（1）连结OB和OC
∵OE⊥BC，
∴BE=CE
∵OE=BC
∴∠BOC=90°
∴∠BAC=45°。（2）∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
由折叠可知，AG=AF=AD，∠AGH=∠AFH=90°
∠BAG=∠BAD，∠CAF=∠CAD
∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°
∴∠GAF=∠BAG+∠CAF+∠BAC=90°
∴四边形AFHG是正方形。
（3）由（2）得，∠BHC=90°，GH=HF=AD，GB=BD=6，CF=CD=4
设AD的长为x，则BH=GH-GB=x-6，CH=HF-CF=x-4
在Rt△BCH中，BH²+CH²=BC²，
∴（x-6）²+（x-4）²=10²
解得，x₁=12，x₂=-2（不合题意，舍去）
∴AD=12。