如图,在等腰梯形ABCD中,AD=4,BC=9,∠B=45°.动点P从点B出发沿BC向点C运动,动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动,其中一个动点到达

如图,在等腰梯形ABCD中,AD=4,BC=9,∠B=45°.动点P从点B出发沿BC向点C运动,动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动,其中一个动点到达

题型:不详难度:来源:
如图,在等腰梯形ABCD中,AD=4,BC=9,∠B=45°.动点P从点B出发沿BC向点C运动,动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.
(1)求AB的长;
(2)设BP=x,问当x为何值时△PCQ的面积最大,并求出最大值;
(3)探究:在AB边上是否存在点M,使得四边形PCQM为菱形?请说明理由.
答案
(1)作AE⊥BC,
∵等腰梯形ABCD中,AD=4,BC=9,
∴BE=(BC-AD)÷2=2.5,
∵∠B=45°,
∴AB=
5


2
2


(2)作QF⊥BC,
∵等腰梯形ABCD,
∴∠B=∠C=45°,则△CQF是等腰直角三角形.
∵点P和点Q的运动速度、运动时间相同,BP=x,
∴BP=CQ=x,
∵BC=9,
∴CP=9-x,QF=


2
2
x

设△PQC的面积为y,
∴y=(9-x)•


2
2
x•
1
2

即y=-


2
4
x2+
9


2
4
x
=-


2
4
(x-
9
2
)2
+
81


2
16

∵AB=
5


2
2
,动点P从点B出发沿BC向点C运动,动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.BP=x,
∴0<x≤
5


2
2
9
2

∴当x=
5


2
2
时,△PQC的面积最大,最大值为:
y=
1
2
PC•QF=
1
2
(9-
5
2


2
)×
5
2

=
45
4
-
25


2
8


(3)不存在,
若存在,则PC=QC,
∴9-x=x,
∴x=
9
2

9
2
5
2


2

∴边AB上不存在点M,使得四边形PCQM为菱形.
举一反三
如图,等边三角形ABC,点E是AB上一点,点D在CB的延长线上,且ED=EC,EFAC交BC于点F.
(1)试说明四边形AEFC是等腰梯形;
(2)请判断AE与DB的数量关系,并说明你的理由.
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如图,△ABC中、BC=a,若D1、E1分别是AB、AC的中点,则D1E1=
a
2
;若D2、E2分别是D1B、E1C的中点,则D2E2=
1
2
(
a
2
+a)=
3
4
a
;若D3、E3分别是D2B、E2C的中点,则D3E3=
1
2
(
3
4
a+a)=
7
8
a
…若Dn、En分别是Dn-1B、En-1C的中点,则DnEn=______(n≥1且n为整数).
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已知等腰梯形ABCD中,ADBC,AB=CD=AD=6,∠B=60°,则BC=______.
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如图,已知在平行四边形ABED中,AE是对角线,∠B=∠EAD,延长BE至点C,使EC=BE,并连接DC.
(1)求证:四边形ABCD是等腰梯形;
(2)若AB=AD=4,求梯形ABCD的面积.
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如图,梯形ABCD中,ADBC,AB=CD,AD=2,BC=6,∠B=60°,则梯形ABCD的周长是______.
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