(1)在四边形ABCD中,AB⊥BC,DC⊥BC, ∴AB∥DC. 又∵AB=a,DC=b,且a≤b, ∴四边形ABCD为直角梯形(或矩形). 过点P作PQ⊥BC,垂足为Q, ∴PQ∥AB, 又∵点P是AD的中点, ∴点Q是BC的中点, 又∵PQ=(AB+CD)=(a+b)=BC, ∴PQ=BQ=QC. ∴△PQB与△PQC是全等的等腰直角三角形. ∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=90°,PB=PC, 即△PBC是等腰直角三角形.
(2)存在点M,使AM⊥MD. 理由是∵AB⊥BC,CD⊥BC, ∴∠B=∠C=90°, 当=时,△ABM∽△MCD, ∴∠BAM=∠DMC, ∵∠BAM+∠AMB=90°, ∴∠AMB+∠DMC=180°-90°=90°, ∴∠AMD=90°, 此时AM⊥DM, 代入得:=, 整理得出:BM2-(a+b)BM+ab=0, (BM-a)(BM-b)=0, ∴BM=b或BM=a, 综合上述:在线段BC上,存在点M,使AM⊥MD,BM的长是a或b.
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